卷积

    在泛函分析中，卷积（捲積）、旋積、疊積或摺積，是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“移动平均”的推广。

   卷积是分析数学中一种重要的运算。设：,是上的两个可积函数，作积分：

   可以证明，关于几乎所有的，上述积分是存在的。这样，随着的不同取值，这个积分就定义了一个新函数，称为函数与的卷积，记为。我们可以轻易验证：，并且仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

   卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。

   由卷积得到的函数一般要比和都光滑。特别当为具有紧支集的光滑函数，为局部可积时，它们的卷积也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于的光滑函数列，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

   卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

   具体定义：

函数f与g的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

积分区间取决于f与g的定义域。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

参考：

  维基百科