本文围绕稠密环境下编队飞行的分布式群轨迹优化展开。提出微分编队相似性指标，通过拉普拉斯矩阵等构建度量。采用MINCO表示进行轨迹表示，将编队飞行轨迹生成化为无约束优化问题，构建包含平滑度、碰撞等多项惩罚的优化模型。
稠密环境下编队飞行的分布式群轨迹优化（二）
原文章题目：Distributed Swarm Trajectory Optimization for Formation Flight in
Dense Environments
作者：Lun Quan, Longji Yin, Chao Xu, and Fei Gao
出处：2022 International Conference on Robotics and Automation (ICRA)
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背景介绍部分在这里：稠密环境下编队飞行的分布式群轨迹优化（一）
实验部分介绍在这里：稠密环境下编队飞行的分布式集群轨迹优化（三）
三、微分编队相似性指标
N N N个机器人的编队由无向图 G = ( V , E ) {\cal G} = ({\cal V},{\cal E}) G=(V,E)建模，其中 V = { 1 , 2 , . . . , N } {\cal V} = \{ 1,2,...,N\} V={
1,2,...,N}是顶点集, E ⊂ V × V {\cal E} \subset {\cal V} \times {\cal V} E⊂V×V是边缘。在图 G {\cal G} G中，顶点 i i i代表位置向量 p i = [ x i , y i , z i ] ∈ 3 {
{\bf{p}}_i} = [{x_i},{y_i},{z_i}] \in {^3} pi=[xi,yi,zi]∈3的第 i t h {i^{th}} ith个机器人。连接顶点 i ∈ V i \in {\cal V} i∈V和顶点 j ∈ V j \in {\cal V} j∈V的边 e i j ∈ E {e_{ij}} \in {\cal E} eij∈E意味着机器人 i i i和 j j j可以测量彼此之间的几何距离。在我们的工作中，每个机器人都与所有其他机器人进行通信，因此形成图 G {\cal G} G是完整的。图 G {\cal G} G的每条边都与一个非负数作为权重相关联。在这项工作中,边 e i j {e_{ij}} eij的权重由下式给出:
w i j = ∥ p i − p j ∥ 2 , ( i , j ) ∈ E , （ 1 ） {w_{ij}} = {\left\| {
{
{\bf{p}}_i} - {
{\bf{p}}_j}} \right\|^2},\quad (i,j) \in {\cal E},（1） wij=∥pi−pj∥2,(i,j)∈E,（1）
其中 ∥ ⋅ ∥ \parallel \cdot \parallel ∥⋅∥表示欧几里德范数。现在确定了编队图 G {\cal G} G的邻接矩阵 A ∈ R N × N {\bf{A}} \in \Bbb R {^{N \times N}} A∈RN×N和度矩阵 D ∈ R N × N {\bf{D}} \in \Bbb R{^{N \times N}} D∈RN×N。因此，相应的拉普拉斯矩阵由下式给出：
L = D − A . （ 2 ） {\bf{L}} = {\bf{D}} - {\bf{A}}.（2） L=D−A.（2）
利用上述矩阵，图 G {\cal G} G的对称归一化拉普拉斯矩阵定义为
L ^ = D − 1 / 2 L D − 1 / 2 = I − D − 1 / 2 A D − 1 / 2 , （ 3 ） \widehat {\bf{L}} = {
{\bf{D}}^{ - 1/2}}{\bf{L}}{
{\bf{D}}^{ - 1/2}} = {\bf{I}} - {
{\bf{D}}^{ - 1/2}}{\bf{A}}{
{\bf{D}}^{ - 1/2}},（3） L
=D−1/2LD−1/2=I−D−1/2AD−1/2,（3）
其中 I ∈ R N × N {\bf{I}} \in \Bbb R{^{N \times N}} I∈RN×N是单位矩阵。
作为图表示矩阵，拉普拉斯包含有关图结构的信息[25]。为了实现所需的群体形成，我们提出了一种形成相似距离度量：
f = ∥ L ^ − L ^ d e s ∥ F 2 = t r { ( L ^ − L ^ d e s ) T ( L ^ − L ^ d e s ) } , （ 4 ） f = \left\| {\widehat {\bf{L}} - {
{\widehat {\bf{L}}}_{des}}} \right\|_F^2 = {\mathop{\rm tr}\nolimits} \left\{ {
{
{\left( {\widehat {\bf{L}} - {
{\widehat {\bf{L}}}_{
{\rm{des }}}}} \right)}^T}\left( {\widehat {\bf{L}} - {
{\widehat {\bf{L}}}_{
{\rm{des }}}}} \right)} \right\},（4） f=
L
−L
des
F2=tr{
(L
−L
des)T(L
−L
des)},（4）
其中 t r { ⋅ } tr\{ \cdot \} tr{
⋅}表示矩阵的迹， L ^ \widehat {\bf{L}} L
是当前群体编队的对称归一化拉普拉斯算子, L ^ d e s {\widehat {\bf{L}}_{
{\rm{des }}}} L
des是期望编队的对应项。弗罗贝尼乌斯范数 ∥ ⋅ ∥ F \parallel \cdot {\parallel _F} ∥⋅∥F用于我们的距离度量。 f f f 对于编队的平移和旋转本身是不变的，因为相应的图形是由机器人位置之间的绝对距离加权的。缩放不变性是通过公式（3）中的度矩阵对图拉普拉斯算子进行归一化来实现的。
我们的度量对于每个机器人的位置在分析上是可微的。对于机器人 i i i，我们使用其 n n n个相邻边的权重 { e i 1 , e i 2 , . . . , , e i n } \{ {e_{i1}},{e_{i2}},...,,{e_{in}}\} {
ei1,ei2,...,,ein}形成权重向量 w i = [ w i 1 , w i 2 , . . . , , w i n ] T {
{\bf{w}}_i} = {[{w_{i1}},{w_{i2}},...,,{w_{in}}]^T} wi=[wi1,wi2,...,,win]T 。根据链式求导法则， f f f相对于的梯度 p i {
{\bf{p}}_i} pi可写为
w i = [ w i 1 , w i 2 , . . . , , w i n ] T （ 5 ） {
{\bf{w}}_i} = {[{w_{i1}},{w_{i2}},...,,{w_{in}}]^T}（5） wi=[wi1,wi2,...,,win]T（5）
根据我们的度量（4）， f f f相对于每个权重 w i j {w_{ij}} wij的梯度可以计算如下
∂ f ∂ w i j = t r { ( ∂ f ∂ L ^ ) T ( ∂ L ^ ∂ w i j ) } , （ 6 ） \frac{
{\partial f}}{
{\partial {w_{ij}}}} = tr\{ {(\frac{
{\partial f}}{
{\partial {\bf{\hat L}}}})^T}(\frac{
{\partial {\bf{\hat L}}}}{
{\partial {w_{ij}}}})\} ,（6） ∂wij∂f=tr{
(∂L^∂f)T(∂wij∂L^)},（6）
其中
∂ f ∂ L ^ = ∂ ∣ ∣ L ^ − L ^ d e s ∣ ∣ F 2 ∂ L ^ = 2 ( L ^ − L ^ d e s ) , （ 7 ） \frac{
{\partial f}}{
{\partial {\bf{\hat L}}}} = \frac{
{\partial ||{\bf{\hat L}} - {
{
{\bf{\hat L}}}_{des}}||_F^2}}{
{\partial {\bf{\hat L}}}} = 2({\bf{\hat L}} - {
{\bf{\hat L}}_{des}}),（7） ∂L^∂f=∂L^∂∣∣L^−L^des∣∣F2=2(L^−L^des),（7）
∂ L ^ ∂ w i j = − ∂ ( D − 1 / 2 A D − 1 / 2 ) ∂ w i j . （ 8 ） \frac{
{\partial {\bf{\hat L}}}}{
{\partial {w_{ij}}}} = - \frac{
{\partial ({
{\bf{D}}^{ - 1/2}}{\bf{A}}{
{\bf{D}}^{ - 1/2}})}}{
{\partial {w_{ij}}}}. （8） ∂wij∂L^=−∂wij
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