MATLAB线性代数函数完全指南

线性代数在工程和科学计算中无处不在！从图像处理到机器学习，从信号分析到控制系统，几乎所有高级计算都离不开矩阵运算。而MATLAB作为数值计算的王者，在线性代数方面的表现简直可以说是天花板级别的存在。

今天咱们就来深度剖析MATLAB中那些让人又爱又恨的线性代数函数。说爱是因为功能强大，说恨嘛…有时候参数太多容易搞混（相信我，你不是一个人）！

矩阵基础运算：从入门到精通

矩阵创建与初始化

在MATLAB中创建矩阵简直不要太简单：

% 直接定义矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

% 创建特殊矩阵
I = eye(3);        % 3x3单位矩阵
Z = zeros(3,4);    % 3x4零矩阵
O = ones(2,5);     % 2x5全1矩阵
R = rand(3,3);     % 3x3随机矩阵

这里有个小技巧！用分号分隔行，用空格或逗号分隔列。刚开始可能会忘记分号，结果矩阵变成一行（血的教训）。

基本矩阵运算

MATLAB的矩阵运算分为两大类：矩阵运算和元素运算。

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

% 矩阵乘法
C1 = A * B;        % 标准矩阵乘法
C2 = A .* B;       % 元素对元素乘法

% 矩阵幂运算
P1 = A^2;          % A的平方（矩阵意义上）
P2 = A.^2;         % 每个元素平方

% 转置运算
At = A';           % 转置
Ah = A'';          % 共轭转置（对复数矩阵有效）

注意那个点号！这是MATLAB的精髓所在。点号表示逐元素运算，没有点号就是标准的矩阵运算。初学者经常在这里翻车。

线性方程组求解：多种武器任你选

直接求解法

最直观的方法就是用反斜杠运算符：

% 求解 Ax = b
A = [2 1 -1; -3 -1 2; -2 1 2];
b = [8; -11; -3];

% 直接求解
x = A \ b;         % 这就是传说中的左除法！

% 验证解的正确性
residual = A * x - b;    % 残差应该接近零

左除法operator是MATLAB的杀手锏功能之一。它会自动选择最适合的算法：如果矩阵是三角矩阵就用前向/后向替换，如果是正定矩阵就用Cholesky分解，如果是一般矩阵就用LU分解。聪明得很！

LU分解详解

对于需要多次求解同一系数矩阵的情况，LU分解是最佳选择：

A = [4 3 2; 3 4 3; 2 3 4];

% LU分解
[L, U, P] = lu(A);

% 多个右端向量
b1 = [1; 2; 3];
b2 = [4; 5; 6];

% 利用LU分解求解
y1 = L \ (P * b1);