LeetCode : 390. 消除游戏（Elimination Game）分析和解答

390. 消除游戏

给定一个从1 到 n 排序的整数列表。

首先，从左到右，从第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表的末尾。

第二步，在剩下的数字中，从右到左，从倒数第一个数字开始，每隔一个数字进行删除，直到列表开头。

我们不断重复这两步，从左到右和从右到左交替进行，直到只剩下一个数字。

返回长度为 n 的列表中，最后剩下的数字。

实例:

输入:
n = 9,
1    2    3    4    5    6    7    8    9
2    4    6    8
2    6
6

输出:
6

一、解答

思路1：

先说一个不好的实现。首先看到这个题，很容易联想到使用一个链表，然后依次删一个跳一个，正序倒序来回执行，直到长度为 1 时返回。这样确实也可以实现，但是耗时太长了，无法满足需求。

思路2：

上述思路行不通，我们只好想别的办法了。当我们仔细观察后，其实这里面隐藏着很强的规律。我们先把答案贴出来，下面再详细证明。

实现：

    public int lastRemaining(int n) {
        return n == 1 ? 1 : 2 * (n / 2 + 1 - lastRemaining(n / 2));
    }

二、证明

假如输入为 n，我们使用 f(n) 表示 从左到右(forward) 的最终结果，使用 b(n)表示 从右到左(backward) 的最终结果。则

规律1： 当 n = 1 时，存在 f(n) = 1, b(n) = 1。

规律2： 对于任意 n，存在 f(n) + b(n) = n + 1。

我们先 假设 这条规律是成立的（因为我们会在后面证明它）。我们先来看一些例子：

当 n = 1 时，由定理 1 可知：f(n) = 1， b(n) = 1，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 2。
当 n = 2 时，f(n) = 2， b(n) = 1，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 3。
当 n = 3 时，f(n) = 2， b(n) = 2，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 4。
当 n = 4 时，f(n) = 2， b(n) = 3，存在 f(n) + b(n) = n + 1 = 5。
…

规律3： 对于 n > 2 的情况下，f(n) = 2 * b(n / 2)。

假如现在有一个输入为 [1，2，3，4，5，6]，第一次删除后结果为 [2，4，6]，可视为 2 * [1，2，3]，而我们知道下一次是 “从右到左” 的，即我们可以使用 b(3) 表示 [1，2，3] “从右到左” 的执行结果，则 f(6) = 2 * b(3)。
同样，如果输入为 [1，2，3，4，5，6，7]，第一次删除后结果同上，也有 f(7) = 2 * b(3)。
那么，对于任意数 k，我们其实都可以按照上述方式将 f(k) 表示为：f(k) = 2 * b(k / 2)。

证明规律2正确：

我们想要证明 f(n) + b(n) = n + 1 成立，又已知 f(n) = 2 * b(n / 2)
我们可以将他们表示为：b(n) = n + 1 - f(n) = n + 1 - 2 * b(n / 2) 和 f(n) = 2 * b(n / 2) = 2 * (n / 2 + 1 - f(n / 2))
即：f(n) + b(n) = n + 1 可以表示为：2 * (n / 2 + 1 - f(n / 2)) + n + 1 - 2 * b(n / 2) = n + 1
化简可得：f(n / 2) + b(n / 2) = n / 2 + 1

所以：欲证明 f(n) + b(n) = n + 1 成立，即证明 f(n / 2) + b(n / 2) = n / 2 + 1 成立。

证明过程：

使用数学归纳法，先从前面几个例子开始，即：

当 n = 1 时，已知 f(1) = 1， b(1) = 1，f(1) + b(1) = 2 成立。
当 n = 2 时，已知 f(2) = 2， b(2) = 1，f(2) + b(2) = 3 成立。
当 n = 3 时，已知 f(3) = 2， b(3) = 2，f(3) + b(3) = 4 成立。
…
当 n = k 时，已知 f(k / 2) + b(k / 2) = k / 2 + 1 成立，所以 f(k) + b(k) = k + 1 成立。
…

最终，对于任意值 n，我们都可以说 f(n) + b(n) = n + 1。

结论：

当 n = 1 时：

f(n) = b(n) = 1。

当 n > 1 时：

f(n) = 2 * (n / 2 + 1 - f(n / 2))

b(n) = n + 1 - 2 * b(n / 2)

三、项目地址：

https://github.com/afei-cn/LeetCode/tree/master/390.%20Elimination%20Game

四、原题地址：

https://leetcode-cn.com/problems/elimination-game/description/