perfect shuffle 完美洗牌算法

完美洗牌问题:给定一个数组a1,a2,a3,...an,b1,b2,b3..bn,把它最终设置为b1,a1,b2,a2,...bn,an这样的。

  perfect shuffle实质是一个置换。置换为： ­

                  i -> 2*i mod (2*n+1) ­

置换可以分解为一系列不相交的轮换之积。故如果能找出所有轮换的一个代表元则可很容易解决问题。 ­我们的关键问题是从每个圈里选择任意一个位置作代表，每个圈从这个位置位置走一圈。

结论：对于2 * n = (3^k - 1)，这种长度的数组，恰好只有k个圈，并且每个圈的头部是1,3,9,...3^(k - 1)。

对于一般的n,把它拆成两部分，前一部分是满足结论，后一部分再单独算。为了把数组分成适当的两部分，我们同样需要交换一些元素。假设满足结论的需要的长度是2 * m = (3^k - 1)， 我们需要把n分解成m和n - m两部分，按下标来说，是这样：

原先的数组(1..m) (m + 1.. n) (n + 1..n + m)(n + m + 1..2 * n)，我们要达到的数组 (1..m)(n + 1.. n + m)(m + 1..n)(n + m + 1..2  * n)。可见，中间那两段长度为(n - m)和m的段需要交换位置，这个相当于把(m + 1..n + m)的段循环右移m次。

算法步骤：

输入数组　a[1..2 * n]

step 1 找到 2 * m = 3^k - 1 使得 3^k <= 2 * n < 3^(k +1)

step 2 把a[m + 1..n + m]那部分循环移m位

step 3 对每个i = 0,1,2..k - 1，3^i是个圈的头部，做cycle_leader算法，数组长度为m，所以对2 * m + 1取模。

step 4 对数组的后面部分a[2 * m + 1.. 2 * n]继续使用本算法，这相当于n减小了m。