最长回文串

原文

字符。例如：

原串：abaab
新串：#a#b#a#a#b#
这样一来，原来的奇数长度回文串还是奇数长度，偶数长度的也变成以‘#’为中心奇数回文串了。
接下来就是算法的中心思想，用一个辅助数组P 记录以每个字符为中心的最长回文半径，也就是P[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。P[i]最小为1，此时回文串为Str[i]本身。
我们可以对上述例子写出其P 数组，如下
新串： # a # b # a # a # b #
P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1
我们可以证明P[i]-1 就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。
证明：
1、显然L=2*P[i]-1 即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。

2、以Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度      的二倍，即原串长度为(L-1)/2，化简的P[i]-1。得证。 依次从前往后求得P 数组就可以了，这里用到了DP(动态规划)的思想，       也就是求P[i] 的时候，前面的P[]值已经得到了，我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。

先把核心代码贴上：

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1. for (i = 0; i < len; i++){  
2.          if (maxid > i){  
3.              p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);  
4.          }  
5.          else{  
6.               p[i] = 1;  
7.          }  
8.          while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])  
9.                 p[i]++;  
10.          if (p[i] + i > maxid){  
11.              maxid = p[i] + i;  
12.              id = i;  
13.          }  
14.          if (ans < p[i])  
15.              ans = p[i];  
16.      }  

为了防止求P[i]向两边扩展时可能数组越界，我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符，令P[0]=‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外，我们用MaxId 变量记录在求i 之前的回文串中，延伸至最右端的位置，同时用id 记录取这个MaxId 的id 值。通过下面这句话，算法避免了很多没必要的重复匹配。

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1. if (maxid > i){  
2.              p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);  
3.          }  

那么这句话是怎么得来的呢，其实就是利用了回文串的对称性，如下图，

j=2*id-1 即为i 关于id 的对称点，根据对称性，P[j]的回文串也是可以对称到i 这边的,但是如果P[j]的回文串对称过来以后超过MaxId 的话，超出部分就不能对称过来了，如下图，

所以这里P[i]为的下限为两者中的较小者，p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i)。算法的有效比较次数为MaxId 次，所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。

下面就贴一个具体代码，求解最长回文字符串的代码：

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1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm>  
3. #include <string>  
4. using namespace std;  
5. const int MAX = 100001;  
6. int len, p[2*MAX];  
7. char str[2*MAX], newstr[2*MAX];  
8.   
9. void change()  
10. {  
11.      int i;  
12.      newstr[0] = '@';  
13.      newstr[1] = '#';  
14.      for (i = 0; i < len; i++){  
15.          newstr[2*i + 2] = str[i];  
16.          newstr[2*i + 3] = '#';  
17.      }  
18.      newstr[2*len + 2] = '\0';  
19.      return ;  
20. }  
21.   
22.   
23. void Manacher()  
24. {  
25.      int i, j, id, maxid = 0, ans = 1;  
26.      len = 2 * len + 2;  
27.      for (i = 0; i < len; i++){  
28.          if (maxid > i){  
29.              p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);  
30.          }  
31.          else{  
32.               p[i] = 1;  
33.          }  
34.          while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])  
35.                 p[i]++;  
36.          if (p[i] + i > maxid){  
37.              maxid = p[i] + i;  
38.              id = i;  
39.          }  
40.          if (ans < p[i])  
41.              ans = p[i];  
42.      }  
43.        
44.      for (i = id, j = 0; i < id + ans; i++){  
45.           if (newstr[i] != '#'){  
46.               str[j] = newstr[i];  
47.               j++;  
48.           }  
49.      }  
50.      str[id+ans] = '\0';  
51.      cout << ans - 1 << " " << str << endl;  
52.      return ;  
53. }  
54.   
55.   
56. int main()  
57. {  
58.     while (scanf("%s", &str)){  
59.           if (strcmp(str, "END") == 0)   break;  
60.           len = strlen(str);  
61.           change();  
62.           Manacher();  
63.     }  
64.       
65.     system("pause");