数字图像处理 第四章——频率域滤波

1.1背景

1.1.1傅里叶级数和变换

• 傅里叶级数：周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。
• 傅里叶变换：非周期函数（曲线下的面积有限）可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示，这种公式称为傅里叶变换
  用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅里叶反变换来重建，不丢失仍和信息。

1.1.2 基本概念

• 复数：定义如下：$C=R+jI$ 其中$R$和$I$是实数，$j=\sqrt{-1}$
  复数C的共轭表示为$C^{\ast }$,定义为：$C=R-jI$
  在极坐标下复数表示为：$C=|C|(cos\theta +jsin\theta )$,其中$|C|=\sqrt{R^2+I^2}$是复平面的原点到点$(R,I)$的向量的长度。
  使用欧拉公式：$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$可以给出极坐标下复数表示：$C=|C|e^{j\theta }$

• 傅里叶级数
  具有周期T的连续变量t的周期函数$f(t)$可以被描述为乘以适当系数的正弦和余弦和，这个和是傅里叶级数，有如下形式：$f(t)={\sum }_{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{j\frac{2\pi n}{T}t}$。其中$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt$是系数。

• 冲激及取样特性
  连续变量t在t=0出的单位冲激表示为$\delta (t)$.
  取样特性的一种更为一般的说明涉及位于任意点$t_0$的冲激，表示为：$\delta (t-t_0)$。在这种情况下，取样特性变为${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt=f(t_0)$

• 连续变量函数的傅里叶变换
  取连续函数 f ( t ) f(t)