小技巧-优快云博客

尺取法。

$meet~in~middle$

枚举子集：$for(int~i=s;i;i=(i-1)\&s);$

无向连通图个数=总数-不联通的图的个数(基准点计数)。

01串也可以黑白染色$qwq$

处理1~n的所有数的所有因子，枚举因子$\times$倍数是O(n logn)的。

$V-E+F=1+C$

枚举$k$子集的方法:

for(int S=(1<<k)-1,ls1,ls2;S<(1<<n);S=(((S&~ls2)/ls1)>>1)|ls2){
    ···
    ls1=S&-S;
    ls2=S+ls1;
}

\[S \bigcap T = \emptyset \Leftrightarrow S \subseteq \complement_U T\]
求子集比较方便

\[\lceil\frac A B\rceil=\lfloor\frac {A+B-1}{B}\rfloor\]

查分表第0条对角线（第一列）等于
\[c_0,c_1,c_2,\cdots,c_p,0,0,0,\cdots(c_i!=0)\]
的序列的通项满足：
\[h_n=c_0{n\choose 0}+c_1{n\choose1}+c_2{n \choose 2}+\cdots+c_p{n \choose p}\]
前缀和满足：
\[\sum_{k=0}^n h_k=\sum_{i=0}^pc_i\sum_{k=10}^n{k\choose i}=\sum_{i=0}^pc_i{k+1\choose i+1}\]

对于$n^k$ 求前缀和通项公式：
\[a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{k+1}=a_0+{k\choose0}\]
\[a_1+2a_2+3a_3+4a_4+\cdots+(k+1)a_{k+1}=a_1+{k\choose1}\]
\[a_2+3a_3+6a_4+10a_5+\cdots+(???)a_{k+1}=a_2+{k\choose2}\]
\[a_3+4a_4+10a_5+20a_6+\cdots+(???)a_{k+1}=a_3+{k\choose3}\]
\[\vdots\]
\[(???)a_k+(???)a_{k+1}=a_k+{k\choose k}\]
解方程组可得系数。

构造一个每个点度数都确定的没有子环没有重边的无向图：找当前度数最大的优先连度数大的。正确性：贪心，无解的限制是所剩的点<度数最大的点的度数。

$reverse~sort$一段$01$序列，要求$reverse$元素的总和尽量小：每次间隔一组$01$进行交换（一段0或1看做一个），这样每次都吧两个相同的数字合并成一个，减半，所以复杂度$nlogn$
$for~example:$
\[10101010\]
\[01100110\]
\[00011110\]
\[00001111\]

$xor$具有可逆性，$a$进行一系列$xor$得到$b$，$b$以相反的顺序进行$xor$也可以得到$a$，在让$a$得到$b$的过程中，可以$a$和$b$一起动。CF472F

线性基判断相等:将两个线性基消主元消成2的次幂，再判断一一相等。

值为$0/1$的$dp$每阶段按$0/1$段$dp$($0/1$交界处)。

对于一个图，建立一棵生成树，每条非树边赋一个值，所跨的树上的链都异或上这个权值，然后
“一个边集的权值异或为$0\Leftrightarrow$删掉这些边图被分割成两部分”（存在$hash$冲突）

点分治处理联通块问题，强制每次都经过分治中心。
。。。。
先对$a$取$max$，后对$b$取$min$：
$a~>~b\Leftrightarrow $ 区间赋值为 $b$。
$a~<~b\Leftrightarrow $ 分开处理，小于 $a$ 的改为 $a$ ，大于 $b$ 的改为 $b$ ， $a,b$ 之间不变。
反之同理。

$O(1)$快速乘：
原理：$a~mod~p = a - \lfloor\frac a p\rfloor\times p$只与差有关。

    ans = ((x * y - (LL) ((LDB) x * y / m) * m) % m + m) % m;

解释：第一个$a$直接$mod~2^{63}-1$，第二个用$LDB$暂存，除以$m$后在$LL$范围内再转成$LL$再乘$m~mod~2^{63}-1$两数相减即为答案。

求期望时，当每种概率的贡献是从一开始的连续的整数时，答案是贡献大于$1$的概率$+$贡献大于$2$的概率$\cdots\cdots$。

原理：贡献为$i$的被统计了$i$次。

T71980 【模板】伯努利概型

对于卷积：
\[c_k=\sum_{i=0}^n a_i\times b_{k-i}\]
$1.$若$n>k$：
把$c,b$右移，
\[c_k=d_{n+k}=\sum_{i=0}^n a_i\times b_{k-i+n}\]
由于$a_{i>n} = 0$，
\[c_k=d_{n+k}=\sum_{i=0}^{n+k} a_i\times b_{k+n-i}\]
$2.$若$n<k$：
由于$a_{i>n}=0$
\[c_k=\sum_{i=0}^k a_i\times b_{k-i}\]