【数据结构】二叉树

二叉树原理与应用

最新推荐文章于 2025-09-07 21:32:49 发布

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#数据结构 #java #链表 #python #b树

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二叉树是一种非常重要的数据结构，是后续很多数据结构与算法的基础，这篇文章就让我们来研究一下二叉树的底层原理与应用吧。

一、树的一般结构

1、概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2、一些名词解释

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、二叉树

1、概念

当一颗树的所有结点度的最大值，即树的度为2时，就被称之为二叉树。顾名思义，就是由许多的二叉分支构成的树

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2、特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k-1$ ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^{k-1}$ (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 $\log_{2}{(n+1)}$ 上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

        若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

        若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

        若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

本文就先介绍一下二叉树的链式存储吧

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

5、二叉树的基本操作

(1)二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1）。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

上图就是对前序遍历的图解，该图的三种遍历结果如下：

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 1 5 6 4 1

简单来说，前序遍历遵循中左右原则，即先访问中间的元素，接着依次访问它的左右子树，遍历子树时依旧遵循中左右原则，直到遍历完整颗二叉树为止，中序遍历则遵循左中右原则，后序遍历遵循左右中原则

代码实现：

    // 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        //递归遍历左子树
        preOrder(root.left);
        //递归遍历右子树
        preOrder(root.right);
    }

    // 中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }


    // 后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

（2）层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

代码实现：

    //层序遍历
    void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+"  ");
        Queue<TreeNode> queue=new LinkedList<>();
        if (root.left!=null)
            queue.offer(root.left);
        if(root.right!=null)
            queue.offer(root.right);
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode node=queue.poll();
            System.out.print(node.val+"  ");
            if(node.left!=null)
                queue.offer(node.left);
            if(node.right!=null)
                queue.offer(node.right);
        }
    }

主要是通过了一个队列来依次存储了二叉树每一层的结点。

（3）其它基础操作

public static int nodeSize;

    /**
     * 获取树中节点的个数：遍历思路
     */
    void size(TreeNode root) {
        if(root==null)return;
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }

    /**
     * 获取节点的个数：子问题的思路
     *
     * @param root
     * @return
     */
    int size2(TreeNode root) {
        if(root==null)return 0;
        return size2(root.left)+size2(root.right)+1;
    }


    /*
     获取叶子节点的个数：遍历思路
     */
    public static int leafSize = 0;

    void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
        if(root==null)leafSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }

    /*
     获取叶子节点的个数：子问题
     */
    int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if(root==null)return 1;
        return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
    }

    /*
    获取第K层节点的个数
     */
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if(root==null)return 0;
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+ getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

    /*
     获取二叉树的高度
     时间复杂度：O(N)
     */
    int getHeight(TreeNode root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        int hl=getHeight(root.left);
        int hr=getHeight(root.right);
        if(hl<hr)return hr+1;
        else return hl+1;
    }


    // 检测值为value的元素是否存在
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if(root==null)return null;
        if(root.val==val)return root;

        TreeNode node=find(root.left,val);
        if(node!=null){
            return node;
        }
        node=find(root.right,val);
        if(node!=null){
            return node;
        }
        return null;
    }