DP_背包专辑

最新推荐文章于 2024-07-20 23:17:42 发布
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 这短时间看了论文《背包九讲》，看到背包问题解法中的优美之处也看到背包问题在现实中的应用，总结出一句话：背包问题值得一看。

    背包问题可以概括为这样的模型：有若干种选择，每种选择有一定的代价和价值，做某些选择会得到特定的状态，问我们在约定的条件下怎么得到特定的状态？这里的状态可以是代价和或者价值和或者由其他这两者组合而来的状态。这类问题需要枚举每种状态，但是可以通过动态规划减少枚举的次数，提高效率，主要思想是每次都利用前面得到的状态进行转移得到当前的状态。这类问题很少能用贪心的，首先，贪心很难证明策略是否正确，其次贪心必定使得枚举量大量减少，会导致结果错误。

    个人认为背包九讲中的很多模型本质都是两种模型：01背包模型、完全背包模型。大家可以把这两种模型理解透彻，然后再看其他模型，这样必定事半功倍。

    看《背包九讲》的过程中开了一个专题，大概26道题目，主要是Hdu和Poj的题目，题目有难有易，这次的专辑主要讲解这些题目，还有一些Uva的简单背包问题也会加入到这个专辑中。本专辑都只列举基本思路，如果大家想看详细思路或者代码请去我博客中查找，大部分题目我都有写解题报告。


   一、01背包问题 (先枚举物品，再逆序枚举容量)

      1、Hdu 2602 Bone Collector 非常常规的01背包问题，用一维和二维数组都可以做，一维快相当多。
      2、Poj 3624 Charm Bracelet  赤裸裸的01背包问题
      3、Hdu 2546 饭卡 n种菜选若干种使剩下的钱最少，背包容量是开始时的钱，物品体积是菜的价格，状态转移时记录答案。
      4、Uva 624 CD 常规的01背包，但要输出路径，状态转移时记录当前状态下当前物品是否被选用，然后递归求解就好。
      5、Uva 562 Dividing coins 平衡问题，将n个硬币的总价值累加得到sum，再用sum/2作为背包容量对n个硬币做01背包处理，看能组成的最大容量是多少。
      6、Hdu 2955 Robberies （推荐)抢劫方案最优问题，需要一个简单地转换，我们求的是不被抓的概率而非被抓的概率，各个银行的储蓄总和为背包容量，体积为单个银
           行 的储蓄，价值为不被抓概率。
       7、Poj 2184 Cow Exhibition（推荐)变形的01背包，其实问题的本质是保证智商和幽默感和不为负数情况下的最大和。智商属性体积，幽默感属性为价值，问题转换为
           求体积大等于0时的体积、价值总和。
       8、Hdu 2639 Bone Collector II  求价值第K大的01背包问题，技巧是多加一维表示第k大时的价值，转移的时候用两个有序数列合并的方法不断更新第二维。
       9、Poj 2923 Relocation（推荐，较综合) 用到状态压缩思想的01背包。先枚举选若干个时的状态，总状态量为1<<n，判断集合里的物品能否一次运走,如果能运走，那
           就把这个状态看成一个物品。预处理完找到tot个物品，再对这tot个物品进行01背包处理，每个物品的体积是state[i]，价值是1，求必选n个物品的最少价值。状态转
          移方程:dp[j|k] = min(dp[j|k],dp[k]+1) (k为state[i,1<=j<=(1<<n)-1])
     10、Hdu 3466 Proud Merchants 与顺序有关的01背包，先按q-p排序再来处理，难想容易敲。
      11、Hdu 2126 Buy the souvenirs  n个物品，m元钱，每个物品最多买一次，问最多可以买几件物品，并且输出方案数。加一维表示已经买几件物品。
      12、Hdu 4281 Judges' response（推荐，综合题）  和以上第9的思路差不多，但这题的判断条件更简单，本题还有一问是mTSP，甚是经典。详细题解见Here

    二、完全背包问题(先枚举物品，再正序枚举容量)

      1、 Uva 674 Coin Change 完全背包求解方案数问题，只有5种硬币，基础题。
      2、 Uva 147 Dollars 上一题的加强版，硬币有11种，另外这题用double输入，要考虑精度问题。
      3、 Poj 3181 Dollar Dayz   必须 用高精度模拟的完全背包。
      4、Poj 1787 Charlie's Change  这题本来是多重背包的题目，但是完全背包求解速度奇快。
      5 、 Poj 3260 The Fewest Coins（推荐，较综合)  完全背包和多重背包混合题，先用完全背包预处理煤老板找钱的最小硬币数，再用多重背包求用到的最小硬币数。
      6 、 Poj 2063 Investment  求投资k年获得最大投资，每年都选最大利息的方案进行投资k年后就可以得到最多的人民币。
      7、3623 Battle Ships   建塔打大怪兽，有n种塔，任意建多少个，建塔有时间，建好的塔可以一直打怪兽。把时间当作容量，把打对方多少血当作价值。
     8 、Zoj 3524 Crazy Shopping (推荐)  拓朴排序+完全背包，先拓朴排序，注意可能有好几个起点，然后按照拓扑序转移，每转移一次就对下一个点进行完全背包，同时注意更 新所用的能量。 
     9、Zoj 3662 Math Magic  刚结束的长春区域赛的H题，把每个m的因子当作物品，要求我们随便选k个物品，使得这些物品的总和为n，Lcm为m。dp[i][j][k]表示选了i个物品，和为jlcm为k的方案数，具体做法是先预处理找出m的所有因子，这样不管怎么选，最后都有可能Lcm为m，免除很多无必要的计算，然后用这类背包的方法进行转移。

    三、多重背包问题(先枚举物品，再正序枚举容量)

      1、Hdu 1114 Piggy-Bank  简单多重背包，但当成01背包来暴力也完全没有问题，
      2、Hdu 1059 Dividing 简单多重背包，体积为硬币数，价值为币值，可用二进制处理成01背包求解，可用30对num进行优化。
      3、Hdu 2191 悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活 标题超长超简单的多重背包，可用01背包求解。
      4、Poj 1276 Cash Machine 多重背包，需用二进制处理成01背包求解，体积是硬币数量，价值是币值。
      5、Poj 2392 Space Elevator 最大容量不定的多重背包，体积是每种木块的高度，由于可行性问题无价值这个概念。

    四、分组背包问题(先逆序枚举容量，再枚举物品)

       1、Hdu 1712 ACboy needs your help 选课复习问题，没门课只能选一次，找个时间复习，求最大的收益。每门课对应一组，每个时间对应一个物品。
       2、Hdu 3033 I love sneakers!  xx买鞋问题，分组背包的变形，每种牌子至少选一双，这与分组的最多选一个不一样，但思想一样，物品为每种牌子的各种鞋子。
       3、Poj 1837 Balance 平衡问题，把每个砝码在每个位置的权值算出来，每个砝码一个分组，几个位置几个物品，最后求的是价值和为0的方案数。
       4、Poj 3211 Washing Clothes Show幸福题，每种颜色的衣服的分到一组，费用是洗一件衣服的时间，每组求解出最少时间，再逐组累加起来。
       5、Hdu 3810 Magina (推荐，综合)  搜索加分组背包，分组背包必须用单调队列模拟，因为容量特别大，没办法按照常规进行转移。
       6、Hdu 3535 AreYou Busy  （推荐，混合背包)，各种背包混合，要求对01、完全、多重背包都有深入的理解。

    五、树形背包问题(在树上进行分组背包处理)

       1、Poj 1155 TELE  把每个节点的子节点看成一组背包，最大容量是这点的叶子子孙数量，选几个节点就是选择的容量，价值就是用户给的Money-中转费用。解题报告 Here
       2、Hdu 1011  Starship Troopers  和上题相似，要选择父节点必先子节点，特判m为0的时候。
       3、Poj 1947 Rebuilding Roads 求最少删除几条边使得子树节点个数为p，具体的模型和上题很像。解题报告 Here
       4、Hdu 1561 The more, The Better 在一棵树上选择若干个点获得的最大价值，选子节点必须先选父节点，求解情况和上两题相同。解题报告 Here
       5、Hdu 4003 Find Metal Mineral (推荐，好题) 树形DP+选且只能选一个物品的分组背包，状态转移方程难想。解题报告 here
       6、Poj 2486 Apple Tree 树形DP+分组背包，但是状态转移方程要分三步，较为难想。解题报告 Here
       7、Poj 3345 Bribing FIPA  树形DP+分组背包，和前面几题相比没有特殊的地方，只是要注意输入。具体可见 Here
       8、Hdu 4044 GeoDefense 树形DP+分组背包,要求从每个儿子结点获取最小的hp，然后找这些儿子的最大组合，不是特别好想。解题报告见 Here
       9、Zoj 3627 Treasure Hunt II  树形DP +分组背包，浙大月赛的水题，很普通的树形背包。
【算法笔记】动态规划基础（二）：背包dp
2302_79577794的博客
05-05 1279
2. 01背包问题 分析问题，首先需要遍历每一个物品，题中要求最大价值，限制条件是最大体积，要遍历所有可能的体积，因此要开两维：dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]综上：dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示所有从前iii个物品中选，所选物品总体积不超过jjj的最大价值。最后一步就不同，有点dfsdfsdfs指数级枚举的感觉，第iii个物品可以选、也可以不选。如果不选第iii个物品，跟看第iii个物品前相比，总体积不变、总价值不变，也就是dp[i−1][j]dp[i - 1][j]
DP背包（背包类问题）
feguredf_的博客
07-04 788
背包其实也是资源分配的一个分支，有各种模型，以01背包为根本，有其他各种；难点在于01背包的优化以及各种背包问题之间的转化；先用一道题来看宋彦沣是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的高浩岷为师。高浩岷为了判断他的资质，给他出了一个难题。高浩岷把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的宋彦沣，你应该可以让采到的草药的总
dp 背包问题（我自己总结的）
07-30
关于dp（动态规划）中的背包问题的讨论，还有很多总结，这上面是用思路引导我们去慢慢理解背包问题的
背包 dp
emmmmmm
01-23 2514
#include #include #include using namespace std; int dp[100002]; int main() {     int n;     while(cin>>n,n!=0)     {         int a[1200];         memset(dp,0,sizeof(dp));         i
背包 DP 背包
qq_43851106的博客
03-14 2687
背包 题目 是dp中较为常见的题目 分为 0--1 背包 ,完全背包 和多重背包 这三类 是越来越深入的首先来介绍一下 0--1背包 ; 首先 0 --1 背包的含义是 给你一个容量位M的背包 然后给你n个物品 ,每个物品具有一定价值和一定重量 会站一定的背包空间答案是在n个物品中那几个 然后使得到的价值最大 首先0 --1入门 首先...
C++分组背包问题_动态规划dp_背包_算法竞赛
YLCHUP的博客
07-20 1518
分组背包的详细讲解，附带两道经典例题，讲解得细致、易懂。快来看ヾ(•ω•`)o
【DP_背包专辑】【4.04最新更新】
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1. 计算机科学中的路径规划、字符串匹配、背包问题、图论问题等。 2. 经济学中的资源分配、决策分析等。 3. 生物信息学中的序列比对、蛋白质结构预测等。 在本例中，"DP"可能指的是一种特定形式的动态规划算法，...
hiho一下 第六周 Hihocoder #1038 : 01背包
Luke的学习笔记
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题目1 : 01背包 时间限制:20000ms 单点时限:1000ms 内存限制:256MB 描述 且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！ 小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦
DP背包（一）
日拱一卒,功不唐捐
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01背包 for(int i=0;i<n;i++) //遍历每一件物品 for(int j=v;j>=wei[i];j--)//遍历背包容量，表示在上一层的基础上，容量为J时，第i件物品装或不装的最优解; dp[j]=max(dp[j-wei[i]]+val[i],dp[j])； 初始化细节：装满dp[0]=0;其余赋值-INF；不装满全初始化为0； 完全背包 for(int ...
背包DP大全
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01背包问题 朴素01背包 #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int n, m; int v[1001];//这个东西是体积 int w[1001];//这个东西是收益 int dp[1001][1001];//定义dp表 int main() { cin >> n >> m;//n表示有n个物品可以取，m表示有物体的总体积是m for(int i = 1;
(背包dp) 背包N讲
cuber-lotus的博客
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文章目录前言相关练习题模板题01背包完全背包多重背包小数据范围 (可朴素暴力)数据范围中等数据范围 (二进制优化)数据范围大数据范围 (单调队列优化)数据范围混合背包二维费用背包分组背包有依赖的背包 (树型dp)背包求方案数背包求具体方案END 前言 背包问题可以说是dp中非常典型的一种题型 由最简单的01背包到由背包延伸出来的各种dp问题种类繁多 而前辈们也是有总结出“背包九讲”和各种典型例题的珍贵资料 本文的例题选自acwing(y总甚至直接把背包问题放在了提单的A+B的直接下面) 背包九讲PDF(来
背包dp
sinat_24041609的专栏
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1. 01背包hdoj 2602 Bone Collector`#include <stdio.h> int main(void) { int t,n,v,c[1000],w[1000],f[1000],i,j; scanf("%d",
POJ 1276 Cash Machine （多重背包转01背包优化）
滴水穿石，慢慢积累，总会有成果
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Cash Machine Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 30096   Accepted: 10848 Description A Bank plans to install a machine for cash withdrawal. The mac
背包DP
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<think>首先，用户的问题是：“我想查找AtCoder平台上dp_e相关的信息，可能是题目解析、解题思路等 请问AtCoder dp_e题目解析及解题思路”。所以，我需要提供关于AtCoder的dp_e题目的解析和解题思路。 从系统级指令： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如：[^1] 用户提供的引用内容： - 引用[1]：关于AtCoder入门建议。 - 引用[2]：关于动态规划的介绍。 - 引用[3]：关于动态规划的面试准备。 - 引用[4]：关于使用位运算优化DP的示例代码，特别是旅行商问题的代码。 用户提到了“dp_e”，这很可能指的是AtCoder上的一个问题编号。AtCoder有一个著名的动态规划（DP）系列问题，称为“Educational DP Contest”，其中问题编号如“dp_a”、“dp_b”等。dp_e应该是其中一个问题。 回想一下，AtCoder的Educational DP Contest有26个问题对应字母a到z。dp_e通常是“Knapsack 1”或背包问题的变种。具体来说： - dp_a: Coin Change - dp_b: Frog 1 - dp_c: Vacation - dp_d: Knapsack 1 (0/1 Knapsack with small constraints) - dp_e: Knapsack 2 (0/1 Knapsack with large weights) 在标准Educational DP Contest中： - dp_d是Knapsack 1，约束较小（W <= 10^5, N <= 100） - dp_e是Knapsack 2，约束较大（W <= 10^9, N <= 100），但价值较小，所以需要优化为基于价值的DP。 用户指定了“dp_e”，所以我需要提供dp_e的解析。 dp_e的题目是Knapsack 2： - 给定物品的重量和价值，以及背包容量，求最大价值。 - 约束：N（物品数） <= 100, W（背包容量） <= 10^9, 价值 <= 10^3。 - 由于W很大，不能直接用基于重量的DP（因为DP数组大小为W），需要改用基于价值的DP，因为总价值较小（最大100 * 1000 = 100,000）。 解题思路： 1. **问题分析**：标准0/1背包问题，但由于背包容量很大，直接使用O(NW)的DP会超出内存和时间限制。需要优化。 2. **优化策略**：既然价值较小（最多100,000），可以定义DP[i][v]为考虑前i个物品时，达到价值v所需的最小重量。 3. **状态转移方程**： - DP[i][v] = min(DP[i-1][v], DP[i-1][v - value[i]] + weight[i]) for v >= value[i] - 初始状态：DP[0][0] = 0, DP[0][v] = infinity for v > 0 4. **实现**：使用二维DP数组，优化空间复杂度到一维。 5. **最终答案**：找到最大的v，使得DP[N][v] <= W。 参考用户提供的引用： - 引用[4]中有一个位运算优化DP的示例，但那是针对旅行商问题的，不直接适用于背包问题。但可以提及DP优化的一般思想。 - 引用[2]和[3]讨论动态规划的基础，可以作为背景。 在回答中，需要自然地引用这些内容。例如，提到动态规划概念时，引用[2]：“动态规划是一种解决复杂问题的强大技术[^2]”。 回答结构： - 引言：介绍dp_e题目。 - 题目描述：简述问题。 - 解题思路：详细步骤。 - 代码示例：提供伪代码或Python代码。 - 生成相关问题：根据系统指令。 生成相关问题： - 类似于示例中的快速排序问题结束时生成的。 - 例如：1. 如何优化背包问题？ 2. AtCoder上其他DP问题解析？ 3. 动态规划的应用？ 使用中文回答： - 全程用中文。 LaTeX格式： - 行内数学表达式如$DP[i][v]$, $O(N \times \text{total\_value})$ - 独立公式如状态转移方程单独成行。 完整回答框架： 1. **AtCoder dp_e题目解析** - 简述题目。 2. **题目描述** - 描述输入输出。 3. **解题思路** - 分析难点。 - 提出基于价值的DP。 - 状态转移方程。 4. **代码实现** - 提供Python代码。 5. **生成相关问题** 引用标识： - 在适当地方添加[^2], [^3]等。 现在，基于引用内容定制： - 引用[1]建议从入门开始，但用户已经指定dp_e，可以不直接用。 - 引用[2]和[3]关于DP基础，可以引用。 - 引用[4]是位运算优化，虽不直接相关，但可以提及优化技巧。 最终生成相关问题： 1. 如何处理背包问题中的大容量情况？ 2. AtCoder上其他动态规划问题如dp_f的解析？ 3. 记忆化搜索在DP中的应用？ </think>### AtCoder dp_e题目解析及解题思路 AtCoder的dp_e问题属于经典的动态规划（DP）序列，具体是“背包问题2”（Knapsack 2），源自AtCoder Educational DP Contest。该问题在约束条件下有独特的优化挑战，区别于标准背包问题。下面我将逐步解析题目、解题思路和实现方法。内容参考了动态规划的核心概念[^2]和优化策略[^3]，确保分析完整可靠。 #### 1. **题目描述** dp_e的题目是背包问题（Knapsack Problem）的变种： - **输入**：给定$N$个物品，每个物品有重量$w_i$和价值$v_i$，以及背包容量$W$。 - **输出**：选择物品子集，使得总重量不超过$W$，且总价值最大化。 - **约束**： - $N \leq 100$（物品数少）， - $W \leq 10^9$（背包容量极大）， - $v_i \leq 10^3$（价值较小，总价值最大$100 \times 1000 = 10^5$）。 关键难点：由于$W$巨大，直接使用基于重量的DP（时间复杂度$O(NW)$）会超出内存和时间限制（例如，$W=10^9$时需要$10^9$次操作，不可行）。因此，需要优化策略。 #### 2. **解题思路** 动态规划的核心是识别“重叠子问题”和“最优子结构”[^2]。针对dp_e，标准背包DP（定义$dp[i][j]$为前$i$个物品在容量$j$下的最大价值）不可行。优化思路转向**基于价值的DP**： - **状态定义**：定义$dp[i][v]$为考虑前$i$个物品时，达到总价值$v$所需的最小重量。 - 为什么有效？因为总价值上限小（$ \leq 10^5$），状态空间可控。 - **状态转移方程**： 对于每个物品$i$和每个可能价值$v$，有两种选择： - 不选物品$i$：$dp[i][v] = dp[i-1][v]$ - 选物品$i$：$dp[i][v] = \min(dp[i][v], dp[i-1][v - v_i] + w_i)$ 数学表达为： $$ dp[i][v] = \min \begin{cases} dp[i-1][v] \\ dp[i-1][v - v_i] + w_i \quad (\text{if } v \geq v_i) \end{cases} $$ - **初始状态**： - $dp[0][0] = 0$（考虑0个物品，价值0时重量为0） - $dp[0][v] = \infty$（价值$v > 0$时不可达） - **目标答案**：遍历所有$v$，找到最大$v$使得$dp[N][v] \leq W$（即最小重量不超过$W$的最大价值）。 - **优化**： - **空间优化**：DP数组可降为一维（$dp[v]$），通过逆序遍历$v$避免覆盖问题。 - **时间复杂度**：$O(N \times V_{\text{max}})$，其中$V_{\text{max}} = 10^5$，效率高（约$100 \times 10^5 = 10^7$次操作）。 这种优化利用了价值小的特性，避免了大容量的计算瓶颈[^3]。 #### 3. **代码实现（Python）** 以下是Python实现，基于上述思路。代码简洁，注释详细： ```python def main(): import sys data = sys.stdin.read().split() n = int(data[0]) W = int(data[1]) weights = [] values = [] index = 2 for i in range(n): weights.append(int(data[index])) values.append(int(data[index + 1])) index += 2 # 计算总价值上限 max_value = sum(values) # 初始化一维DP数组，dp[v]表示达到价值v的最小重量 dp = [10**18] * (max_value + 1) # 初始化为极大值 dp[0] = 0 # 基础状态 # 动态规划过程 for i in range(n): # 逆序遍历价值，避免覆盖 for v in range(max_value, values[i] - 1, -1): if dp[v - values[i]] != 10**18: # 确保前状态可达 dp[v] = min(dp[v], dp[v - values[i]] + weights[i]) # 查找最大有效价值 ans = 0 for v in range(max_value, -1, -1): if dp[v] <= W: ans = v break print(ans) if __name__ == '__main__': main() ``` **代码说明**： - 读取输入数据，包括物品数和容量。 - 定义DP数组，大小由总价值上限决定（$10^5 + 1$）。 - 遍历每个物品，更新DP状态（逆序确保正确性）。 - 最后从高价值向低遍历，找到第一个$dp[v] \leq W$的$v$作为答案。 此方法高效解决了大$W$问题，时间复杂度$O(N \times \text{total_value})$，空间复杂度$O(\text{total_value})$。 #### 4. **关键点总结** - **为什么有效**：价值小、容量大的场景下，基于价值的DP避免了资源浪费[^2]。 - **常见错误**：尝试基于重量的DP会导致超时；必须优化状态定义。 - 在AtCoder比赛中，此题考察DP优化能力，建议通过实践加深理解[^1]。
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