扩展欧几里得算法（2）

首先、扩展欧几里得定理：对于两个不全为0的整数a、b，必存在一组解x,y，使得ax+by==gcd(a,b);

实现如下：

int gcd(int a,int b)
{
    int t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;   //不明处1
return a;
    }
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;  //不明处2
return d;
}

上面的程序中,x和y我是用全局变量保存的

我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释

不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧

不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么

gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下

b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)

也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。    需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

 

到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。

那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。很好理解吧~

 

再深入一点，就解出这么一组解其实一般来说是解决不了什么问题的。没有哪个ACM的题这么简单吧。。。比如我们现在要得到所有的解，那么这所有的解究竟是什么呢？

直接说吧,假设d=gcd(a,b). 那么x=x0+b/d*t; y=y0-a/d*t;其中t为任意常整数。

【这个是怎么推导出来的，说实话我也不知道，就先这么记着吧！】

 

 

现在得到了一组可行解，但是如何得到通解呢？

将(x0,y0)代入ax+by=c，则有

a*(x0)+b*(y0)=c

通过拆添项，可有：

a*(x0+1*b)+b*(y0-1*a)=c

a*(x0+2*b)+b*(y0-2*a)=c

a*(x0+3*b)+b*(y0-3*a)=c

……

a*(x0+k*b)+b*(y0-k*a)=c  (k∈Z)

至此，我们得到了通解的方程

x=x0+k*b

y=y0-k*a  (k∈Z)

这样，所有满足ax+by=c的可行解都可求出。

【充分性易证，代入即可验证。而必要性较难证】。