(4)Data.Part3.SimilarityAndDissimilarity

相似性和相异性（区别性，不同性）

      相似性就是两个数据个体间的相似程度嘛，相异性就是相对的概念咯。相异性也就是距离，如果我们把数据个体看做是向量，那么相异性就是两个向量间的距离了。

相似性与相异性的转换

      相似性和相异性通常都用区间[0,1]内的数值来表示。这两种值是负相关的，因此理论上任意单调递减的函数都可以用来进行两种值的转换。比如定义s为相似性的值，d为相异性的值，辣么s=1-d,d=1-s就是一种合理的转换。

简单属性值之间的相似性与相异性

      对于nominal类型而言，唯一能做的就是比较看两个值是否相同了，那么可以定义相似性为s=1,if 两个值相同,否则s=0。相异性的取值反之。对于ordinal，可以把取值符号都映射成数字，比如{1,2,3,4,5}，那么可以定义相异性d为两个取值的差，或者差再除以最大取值与最小取值的差。注意这里假设了相等的间距，这个假设可能不太合理。对于interval和ratio类型的属性而言，可以用差的绝对值来定义相异性。

数据个体间的相异性

      数据个体的相异性可以简单定义为两个数据个体所表示向量的距离，比如可以用欧氏距离来衡量：

事实上，欧氏距离是Minkowski距离的一种情况：

Minkowski Distance:  

对于上式，当r=1时就是曼哈顿距离了，当r=2就是欧氏距离(即L2 norm),当r=无穷大时就是Lmax norm。

距离具有以下一些属性。

1.Positivity

       

       当x=y时

2.对称性

       

3.三角形定理

       

三角形定理可以用来加速某些依赖于距离度量的操作。注意有很多相异性是不满足以上某些式子的。

数据个体间的相似性

      对Binary数据的距离的衡量。

Simple Matching Coefficient（SMC）

      SMC=取值相同的属性数/总属性数

SMC不适用与非对称的Binary数据，JaccardCoefficient比较适合，因为它忽略了零值的匹配。

      J=取值相同且非零的属性数/总属性数

余弦相似性，类似于Jaccard，忽略了零值的匹配，比较适合处理非对称数据。同时，余弦忽略了magnitude的影响，通过正规化得到只与方向有关的一个度量。

       杠杠x,杠杠y,  即两个向量的点积除以两个长度(L2 norm)

还有一种Jaccard Coefficient的扩展，可以用来计算非Binary的向量的相似性：

       

最后在提一个相关系数（Correlation），这是一个衡量两个数据个体的线性相关性的量。常用的是Pearson's Correlation。

       ,这里cov是协方差，std是标准差

...

       

相似性相异性相关问题

如何处理不同Scale的变量---标准化

如何处理属性间具有相关性的数据---Mahalanobis Distance

如何处理不同类型的属性（比如有的属性是nominal有的是interval）：

       ，这里的 取0或者1。当第k个属性是非对称属性，且两个数个体的对应属性去0时，或者其中一个的值缺失时,取0，否则取1。此外还可以对属性们赋予不同的权重值。