Schwartzian Transform(施瓦茨变换)

本文介绍如何利用Perl中的Schwartzian变换技巧进行复杂的数据排序操作,特别是多级排序,例如先按一列升序再按另一列降序等。通过示例展示了具体的实现步骤和代码。

先普及下概念,看http://en.wikipedia.org/wiki/Schwartzian_transform  或者 看IntermediatePerl 中的9.4

在平时工作中,我们会经常接触到一些对文件内容做排序的工作。

像一般的升序排序,我会用sort命令来完成。

但是有些复杂的排序,比如,按第一列升序,再按第二列降序排,...等这种多级排序,我们就需要用到Schwartzian变换。

Schwartzian Transform基本格式如下,建议使用下列排版,如果写到一行,就很难看。

@sorted = map  { $_->[0] }
          sort { $a->[1] cmp $b->[1] }
          map  { [$_, foo($_)] }
               @unsorted;

或者

@sorted = map  $_->[0],
          sort { $a->[1] cmp $b->[1] }
          map  [$_, foo($_)],
               @unsorted;

扩展一下,如果有N级排序,可以写成

@sorted = map  $_->[0],
          sort { $a->[1] cmp $b->[1]
              or $a->[2] cmp $b->[2]
              ... ...
              or $a->[N] cmp $b->[N]}
          map  [$_, foo($_)],
               @unsorted;

举例说明
我想将文本txt中的第一列按升序排列,当第一列数值相同时,第二列按降序排列,当第二列相同时,第三列按升序排列。txt内容如下
4 6 3
4 5 1
1 2 3
1 9 0
2 0 5
3 6 2
2 0 8
2 0 6

脚本如下
$cat sort.pl
#!/usr/bin/perl  
my @sort_txt = map $_->[0],
               sort {$a->[1] <=> $b->[1]
                  or $b->[2] <=> $a->[2]
                  or $a->[3] <=> $b->[3]}
               map [$_, (split)], <>;
print @sort_txt;

$a->[N] <=> $b->[N] 就是升序排列

$b->[N] <=> $a->[N] 就是降序排列


结果
$perl sort.pl txt 
1 9 0
1 2 3
2 0 5
2 0 6
2 0 8
3 6 2
4 6 3
4 5 1


许瓦兹引理:从一道加利福尼亚大学伯克利分校数学系博士生试题谈起 作 者: 佩捷 著 出版时间:2014 丛编项: 《数学中的小问题大定理》丛书 内容简介 《许瓦兹引理:从一道加利福尼亚大学伯克利分校数学系博士生试题谈起》系统地介绍了许瓦兹引理、保角映射以及复函数的逼近,并且着重地介绍了Caratheodory和Kobayashi度量及其在复分析中的应用。论述深入浅出,简明生动,读后有益于提高数学修养,开阔知识视野。《许瓦兹引理:从一道加利福尼亚大学伯克利分校数学系博士生试题谈起》可供从事这一数学分支相关学科的数学工作者、大学生以及数学爱好者研读。 目录 1 几道数学竞赛培训题 2 保角映射 3 一道西德竞赛题 4 Schwarz引理 5 同时代的两位Schwarz 6 一个伯克利问题 7 中国大学生夏令营试题 8 与非欧几何的联系 9 与多复变函数论的联系 10 复函数的逼近 11 与插值问题的联系 12 Caratheodory和Kobayashi度量及其在复分析中的应用 1 序言 2 单值化定理 3 源自于Schwarz引理和Schwarz-Pick引理的推动 4 关于小林度量的基本事实 5 关于Caratheodory度量的一些基本事实 6 小林度量和Caratheodory度量的比较 13 陆启铿论Schwarz引理 附录 线性变换与罗巴切夫斯基几何 1 罗巴切夫斯基几何在圆上的欧几里得图像 2 给定附标的两点间的非欧距离的计算法 3 非欧几里得圆周 4 曲线的非欧长度 5 非欧几里得面积 6 远环 7 超环 8 罗巴切夫斯基几何在平面上的欧几里得图像 参考文献 编辑手记
<think>好的,我现在需要处理用户关于柯西-施瓦茨不等式的问题。首先,用户想了解其数学定义、证明和应用。根据用户的要求,我需要调用网络搜索工具来获取相关信息,然后整合成一个结构清晰的回答,并生成相关问题。 首先,我得确认柯西-施瓦茨不等式的基本定义。记得在向量空间中,它涉及内积的关系,可能有两种形式:向量形式和积分形式。需要明确数学表达式,比如对于向量可能是|⟨u,v⟩| ≤ ||u||·||v||,积分形式则是积分乘积的平方不超过各自平方积分的乘积。 接下来是证明部分。常见的方法有利用二次函数的判别式或者内积空间的性质。例如,构造一个关于t的二次多项式⟨u+tv, u+tv⟩,利用非负性得到判别式小于等于零,从而推导出不等式。需要详细写出步骤,确保逻辑清晰。 应用方面,用户可能想知道在几何、概率论、信号处理等领域的例子。比如在几何中用于证明三角不等式,在概率论中用于协方差和方差的关系,或者信号处理中的能量比较。需要举出具体的应用实例,如证明向量长度、柯西不等式在积分中的应用等。 然后要检查是否需要代码示例。比如用Python计算向量的内积并验证不等式是否成立,或者符号计算库中的示例。可能需要添加一个代码块,展示如何用SymPy或NumPy实现。 同时,必须注意格式要求:避免使用第一人称,分多个方法或步骤,换行分隔,正确使用数学符号和代码格式。特别是数学公式要用$或$$包裹,代码用三个反引号注明语言类型。 最后生成相关问题。需要基于用户的问题和回答内容,提出至少三个相关的问题,比如与其他不等式的关系、泛函分析中的推广、实际工程中的应用案例等。确保问题具体且有针对性。 现在,检查是否有遗漏部分,比如注意事项或不同应用场景的详细说明。确保回答结构符合要求,没有步骤词汇,每个部分用换行分隔。最后验证相关问题的格式是否正确,使用正确的标题,并且问题编号无误。</think>柯西-施瓦茨不等式是线性代数、泛函分析等领域的基础工具,描述了内积空间中向量或函数的内积与其范数的关系。以下是其定义、证明及典型应用: --- ### **1. 数学定义** **向量形式**: 对于内积空间中的向量 $u$ 和 $v$,有 $$ |\langle u, v \rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\| $$ 等号成立当且仅当 $u$ 与 $v$ 线性相关。 **积分形式**: 若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上平方可积,则 $$ \left( \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right) $$ --- ### **2. 证明方法** **代数证法**(以向量形式为例): 构造非负二次函数 $p(t) = \langle u + tv, u + tv \rangle \geq 0$,展开得 $$ p(t) = \|u\|^2 + 2t\langle u, v \rangle + t^2\|v\|^2 \geq 0 $$ 其判别式需满足 $\Delta = 4\langle u, v \rangle^2 - 4\|u\|^2\|v\|^2 \leq 0$,化简即得原式。 **几何解释**: 内积 $|\langle u, v \rangle|$ 表示投影长度与模长的乘积,其最大值为 $\|u\| \cdot \|v\|$(当两向量同向时达到)。 --- ### **3. 典型应用** **几何学**: - 证明三角不等式 $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$ - 判断向量正交性 **概率论**: - 协方差不等式:$|\text{Cov}(X, Y)| \leq \sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}$ **信号处理**: - 比较信号能量:信号与其滤波器的输出能量满足不等式约束 **物理学**: - 量子力学中态矢量的内积约束 --- ### **4. 数值验证示例** 通过 Python 验证向量形式的柯西-施瓦茨不等式: ```python import numpy as np u = np.array([3, 4]) v = np.array([1, -2]) inner_product = np.dot(u, v) norm_u = np.linalg.norm(u) norm_v = np.linalg.norm(v) print(f"内积绝对值: {abs(inner_product)}") print(f"范数乘积: {norm_u * norm_v}") # 输出:内积绝对值: 5.0,范数乘积: 11.1803(满足 5 ≤ 11.18) ``` --- ### **5. 扩展形式** 在希尔伯特空间中,不等式推广为: $$ |\langle f, g \rangle| \leq \|f\| \cdot \|g\| $$ 适用于无穷维函数空间。 --- **注意事项**: - 应用时需确保函数/向量属于内积空间 - 积分形式要求 $f(x), g(x)$ 平方可积 ---
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