全排列康托展开

最新推荐文章于 2020-12-23 07:32:45 发布

原创最新推荐文章于 2020-12-23 07:32:45 发布 · 242 阅读

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本文探讨了n个元素的所有可能排列按字典序排列的问题，介绍了如何使用康托展开算法计算特定排列的字典序值，以及如何找到下一个字典序排列的方法。文章提供了详细的算法思路和实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门排列的字典序问题

题目描述

n个元素{1,2,…, n }有n!个不同的排列。将这n!个排列按字典序排列，并编号为0，1，…，n!-1。每个排列的编号为其字典序值。例如，当n=3时，6 个不同排列的字典序值如下：
0 1 2 3 4 5
123 132 213 231 312 321
任务：给定n 以及n 个元素{1,2,…, n }的一个排列，计算出这个排列的字典序值，以及按字典序排列的下一个排列。

输入

第1 行是元素个数n(n < 15)。接下来的1 行是n个元素{1,2,…, n }的一个排列。

输出

第一行是字典序值，第2行是按字典序排列的下一个排列。

样例

Input
8
2 6 4 5 8 1 7 3
output
8227
2 6 4 5 8 3 1 7

思路

康托展开：设某个排列{x0,x1,x2…x(n-1)}的对应键值为k，则k=a[0]*(n-1)!+a[1]*(n-2)!+...+a[n-1]*0!,其中a[i]表示x[i]在i~n-1中的升序位置，同时也可以得知该排列在所有排列中是第k+1个。
康托逆展开：已知键值k求排列。通过上面的式子，我们令i从(n-1)到0，每次取t=k/(i!)，显然i后面所有式子加起来都没有i!大，故得到的t就表示这个位置应该填的数是在剩下还没有填的数的升序位置，然后用k/=(i!)去找下一位。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e2+7;
const int mod=1e9+7;
LL jc[maxn];
LL Cantor(LL *a,LL n){
    LL ans=0,c=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        c=0;
        for(int j=i+1;j<n;j++)
            if(a[i]>a[j])c++;
        ans+=c*jc[n-1-i];
    }
    return ans;
}
void DeCantor(LL num,LL n){
    vector<LL>cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cnt.push_back(i);
    LL ans[maxn],tem;
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        tem=num/jc[i];
        num%=jc[i];
        printf("%lld ",cnt[tem]);
        cnt.erase(cnt.begin()+tem);
    }
    printf("\n");
}
int main(){
    int n;
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=15;i++)jc[i]=jc[i-1]*i;
    while(~scanf("%d",&n)){
        LL a[maxn];
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        LL next=Cantor(a,n);
        printf("%lld\n",next);
        DeCantor((next+1)%jc[n],n);
    }

	return 0;
}