记录个人在洛谷试练场做题历程：二分答案：膨胀的木棍

最新推荐文章于 2022-12-26 22:25:43 发布

accedhy

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分类专栏： c++算法

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本文介绍了一种使用二分搜索法解决圆心角计算问题的算法实现。通过二分圆心角的一半来逐步逼近正确解，利用数学公式L/2/α=r和r=l/2/sin（α）推导出l=L*sin（α）/α，并证明了sin（α）/α的单调性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://noi.openjudge.cn/ch0111/09/

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
	double l,n,c,L;
	scanf("%lf%lf%lf",&l,&n,&c);

	L=l*(1+n*c);
	double le=0.0,ri=asin(1.0),mid;
	while(ri-le>1e-14)
	{
		mid=(ri+le)/2;
		if(L/2/mid*sin(mid)<=l/2)ri=mid;
		else le=mid;
	}
	printf("%.3lf\n",l/2*tan(le/2));
}

本题中主要的未知量就是圆心角α（Alt+42689）和半径r，如果选择二分半径，根据膨胀后的长度最长不会超过原长的1.5倍，可知半径最小值接近于1/2l，但是最大值可以无限大，不能确定。所以只能选择二分圆心角的一半。

根据L/2/α=r和r=l/2/sin（α）可得l=L*sin（α）/α

根据导数可以求得l对α的增减性（高二选修2-2），证明如下：

L一定为正值，所以l的增减性只与sin（α）/α有关，对其求导，得（cosα*α-sinα）/α^2,因为α^2一定为正值，所以cosα*α-sinα决定（cosα*α-sinα）/α^2的增减性，对于求二阶导，可得-sinα*α，在（0，π/2）上，-sinα*α<0,所以cosα*α-sinα在（0，π/2）上递减，在0处取得最大值=0，所以（cosα*α-sinα）/α^2在（0，π/2）<0,则sin（α）/α在（0，π/2）单调递减。

在二分判断时，用二分出来的α根据L*sin（α）/α求得值与l比较，如果小于，则增大α，反之减小α；

最后再根据公式求得结果，我的代码最后求值的方法是经过化简。