ACM.素数筛

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#算法 #素数筛 #线性规划 #c++ #acm竞赛

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一.埃氏筛

筛法的思想是去除要求范围内所有的合数，剩下的就是素数了，而任何合数都可以表示为素数的乘积，因此如果已知一个数为素数，则它的倍数都为合数。合数的倍数一定会在筛素数倍数时候被筛掉，所以只筛素数就好，只把质数的数筛掉，就是找到一个质数，把它的倍数全部标记为合数。

const int N=1e7+1;
int prime[N];
int b[N];
int cnt=0,max1=1e7;
int init()
{
    memset(b,1,sizeof(b));//默认初始都是质数
    b[0]=b[1]=0;//特殊判断0和1不是质数
    for(int i=2;i<=max1;i++)
    {
        if(b[i])
        {
            prime(++cnt)=i;//是质数，打到素数表中
            for(int j=2;j*i<=max1;j++)//该素数的倍数一定不是素数
                b[i*j]=0;
        }
    }
    return 0;
}

时间复杂度为nloglogn，接近线性，一般来说足够

二.线性筛

素数筛可以优化，普通的线性筛法虽然大大缩短了求素数的时间，但是实际上还是做了许多重复运算，比如2*3=6，在素数2的时候筛选了一遍，在素数为3时又筛选了一遍。如果只筛选小于等于素数i的素数与i的乘积，既不会造成重复筛选，又不会遗漏。时间复杂度几乎是线性的，是一个逐渐后移的动态判断的过程。

const int N=1e7+1;
int prime[N];
int b[N];
int cnt=0,max1=1e7;
int init()
{
    memset(b,1,sizeof(b));//默认初始都是质数
    b[0]=b[1]=0;//特殊判断0和1不是质数
    for(int i=2;i<=max1;i++)
    {
        if(b[i])
        {
            prime(++cnt)=i;//是质数，打到素数表中
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=max1;j++)
        {
            b[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0) break;//防止重复操作，如果能除尽就停止1，后面会有其他的数把他判断掉。
        }//例如i=4时，4*2=8，4整除2，将8判断就可以停止了，不用判断下一个4*3了，12可以由后面的6*2判断。
    }
    return 0;
}

时间复杂度接近线性
我们要筛1到n中的素数，然后先默认他们都是素数，最外层枚举 1~n的所有数，
如果它是素数，就加到素数表，
对于每一个枚举的i ,枚举素数表里的数，然后素数就会标记自己 i 倍的数不是素数，（素数的倍数不是素数）
枚举素数表什么时候停？枚举到i的最小质因子，标记完就可以停了，保证每个数只被他的最小质因子筛掉。
例如
：外层i=15时，素数表里：2,3,5,7,11,13 215=30，把30筛掉；315=45，把45筛掉，因为15%3==0，退出里面的循环；
15是被3筛掉的，因为3是15的最小素因子。

通过素数筛得到了一个按顺序排好的数组后，就可以判断是否是素数了。

判断素数

只需要枚举I到根号x即可。

int judge(long long n){
int flag=0;
for(int i=1;prime[i]<=sqrt(n*1.0);i++)
if(n%prime[i]==0) {flag=1;break;}
if(n==1) flag=1;
return flag;
}

通过将素数筛函数与判断函数结合，可以处理函数的判断问题。

因为素数筛的过程中，值只有0和1，那么我们可以直接进行优化，创建一个布尔类型的数组，省空间，判断函数也不用了，直接看该数对应的位置上是0还是1就行了。

const int N=1e7+10;
int prime[2000000];
bool b[N],c[N];
int cnt=0,max1=N;
int init(){
    memset(b,1,sizeof(b));
    b[0]=b[1]=0;
    for(int i=2;i<=max1;i++)
    {
        if (b[i])
        {prime[++cnt]=i;
        }
         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=max1;j++)
            {
                b[prime[j]*i]=0;
                if (i%prime[j]==0) break;
            }
    }
    return 0;
}//查询x是否为素数，只需看b【x】的值是否为真即可。