如何运用好DeepSeek为自己服务:智能增强的范式革命 || 1.4 认知增强的数学基础

1.4 认知增强的数学基础

认知增强的理论体系建立在坚实的数学基础之上，涉及信息论、动力系统、优化理论、拓扑学等多个数学分支的深度交叉。本章将系统阐述支撑DeepSeek认知增强模型的核心数学理论。

1.4.1 信息几何与认知流形

认知状态的信息几何描述

认知状态可以视为高维概率流形上的点，其几何结构由Fisher信息度量定义：

$$g_{ij}(\theta )=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \log p(x|\theta )}{\partial {\theta }_i}\frac{\partial \log p(x|\theta )}{\partial {\theta }_j}\right]$$

其中$\theta =({\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)$是认知状态参数向量。

认知流形的基本性质：

• 维度：$d_{\text{cogn}}=\dim (\mathcal{M})\approx 10^3-10^4$
• 曲率：$\mathcal{R}\sim \mathcal{O}(1)$ 在典型认知区域
• 测地线：最小认知努力路径

认知变换的几何动力学

认知状态演化遵循信息几何中的测地线方程：

$$\frac{d^2{\theta }^i}{d{t}^2}+{\Gamma }_{jk}^i\frac{d{\theta }^j}{dt}\frac{d{\theta }^k}{dt}=F_{\text{ext}}^i$$

其中${\Gamma }_{jk}^i$是Christoffel符号，$F_{\text{ext}}^i$表示外部认知输入。

DeepSeek优化后的测地线：
$$\frac{d^2{\theta }^i}{d{t}^2}+{\tilde{\Gamma }}_{jk}^i\frac{d{\theta }^j}{dt}\frac{d{\theta }^k}{dt}=F_{\text{DS}}^i+F_{\text{ext}}^i$$

1.4.2 认知动力系统理论

神经状态空间模型

认知状态演化可以用高维动力系统描述：

$$\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u},t)+\sigma \mathbf{w}(t)$$

其中：

• $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^N$：神经状态向量（$N\sim 10^{11}$）
• $\mathbf{u}$：控制输入（感知、DeepSeek干预）
• $\mathbf{w}(t)$：神经噪声过程

吸引子网络理论

认知状态在相空间中形成多个吸引子：

$$V(\mathbf{x})=-\sum _i{\lambda }_i{\varphi }_i(\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{c}}_i\Vert )+\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^T\mathbf{Ax}$$

其中${\mathbf{c}}_i$