最长不下降子序列的

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最长不下降子序列的O(n^2)算法和O(nlogn)算法

转自： http://blog.163.com/general_happy/blog/static/1693514082011024112934126/

2011-01-24 23:29:34| 分类：默认分类|字号订阅

转帖最长不下降子序列的O(n^2)算法和O(nlogn)算法

最长不下降子序列(LIS:Longest Increasing Subsequence)

//用句通俗的话说，我讲的很通俗易懂~~

问题描述：给出n个数，求出其最长不下降子序列的长度，比如n=5，5个数是{4,6,5,7,3}；其最长下降子序列就是{4,6,7}，长度为3。

一、简单的O（n^2)的算法

很容易想到用动态规划做。设lis[]用于保存第1~i元素元素中最长不下降序列的长度，则lis[i]=max(lis[j])+1,且num[i]>num[j],i>j。然后在lis[]中找到最大的一个值，时间复杂度是O(n^2)。

代码实现：

int Longest_Increasing(int num[],int n){

int lis[n],i,j;

for(i=0;i<n;i++){

lis[i]=1;

for(j=0;j<i;j++)

if(num[i]>num[j]&&lis[j]+1>lis[i])

lis[i]=lis[j]+1;

}

int maxn=0;

for(i=0;i<n;i++) if(maxn<lis[i]) maxn=lis[i];

return maxn;

}

二、复杂点的O(nlogn)算法

概述：O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组b[]，b[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用K表示数组目前的长度，算法完成后K的值即为最长不下降子序列的长度。

具体点来讲：

设当前的以求出的长度为K，则判断a[i]和b[k]：

1.如果a[i]>=b[k]，即a[i]大于长度为K的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即K=K+1,然后现在的b[k]=a[i]；

2.如果a[i]<b[k]，那么就在b[1]...b[k]中找到最大的j,使得b[j]<a[i],然后因为b[j]<a[i]，所以a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即b[j+1]=a[i]。

算法复杂度的分析：

因为共有n个元素要进行计算；每次计算又要查找n次，所以复杂度是O(n^2)，但是，注意到b[]数组里的元素的单调递增的，所以我们可以用二分法，查找变成了logn次。这样算法的复杂度就变成了O(nlogn)。具体算法实现请看代码（7-13update：以前的blog用不了了，所以重新弄过了）。

下面这段代码解决的是一道OI的题。

http://www.rqnoj.cn/Problem_Show.asp?PID=167

            #include<iostream>
            using namespace std;
            long f[100001]={0},l=1,r,m,t=0,a;
            inline void BinarySearch(){
                     while(l<=r){
                           m=(l+r)>>1;
                           if(f[m]==a){l=m;return;}
                           else
                                  if(f[m]>a)l=m+1;
                                 else r=m-1;
                     }
             }
             main(){
                       long n;
                       cin>>n;
                       for(int i=1;i<=n;i++){
                            cin>>a;
                            if(a==0)continue;
                            l=1,r=t;
                            BinarySearch();
          if(l<=t)f[l]=a;
                            else t++,f[t]=a;
                       }
   cout<<t;
           }

理解：

先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。

根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有D[j] < A[t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列（因为最大的数越小越可以找到更多的比他大的数），同时更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。