用于时间序列概率预测的共形分位数回归

预测中的不确定性对于决策者了解潜在结果和相关风险的范围非常重要。通过量化不确定性，企业可以做出更明智的决策，并有效地分配资源。关于预测的不确定性，前面有"用于时间序列概率预测的定量回归“ 和 ”时间序列概率预测的共形预测“的介绍。本文将介绍另一项重要技术–共形分位数回归（CQR）。共形分位数回归（CQR）结合了分位数回归（QR）和共形预测（CP），使两者相辅相成。

分位数回归 QR
QR 估算的是目标变量的条件量值，如中位数或第 90 个百分位数，而不是条件均值。通过分别估计不同水平预测变量的条件量值，可以很好地处理异方差。虽然大多数情况下量化值可以提供准确的预测区间，但当模型假设被违反时，量化值预测可能会不准确。

共形预测 CP
另一方面，CP 能确保预测区间中的实际值，而无需明确关注特定的量化值。它根据实际数据而非任何模型规范形成预测区间。对所有数据范围都会产生一个固定的宽度。

共形分位数回归CQR
为什么不同时使用 QR 和 CP 呢？共形分位数回归（CQR）技术提供了一个值得称赞的解决方案，可以提供具有有效覆盖保证的预测区间。这些覆盖保证是由量回归产生的。CQR 调整了预测区间，以确保实际值总是落在预测区间内，并达到所需的置信水平。

什么是CQR
CQR（Conformal Quantile Regression）的基本思想是建立分位数回归（QR）模型用于预测区间，并使用CP技术进行调整。上一章中介绍了CP如何建立预测区间，通过获取点预测值与实际值之间的误差得出容差区间，然后将其与点估计值相连形成预测区间。然而，QR已经给出了预测区间。要调整预测区间，我们需要修改CP方法为CQR，因为在量化预测中，CP以点预测为中心，而应用于预测区间的CQR则以预测区间的两个锚点（下限和上限）为中心。

CQR的发展过程称为一致性得分。符合性得分涉及实际值与预测区间上下限之间的距离。如果实际值持续高于上限或下限，则应根据一致性得分调整预测区间，确保在选定的时间水平下，实际值在预测区间内。一致性得分是大括号中两个项中较大的一项。

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公式（1）
其中，yt是实际值，Ql和Qu是低量化值和高量化值（下限和上限），ct是符合性得分<