### 旋转矩阵、欧拉角和四元数的关系及转换方法
#### 一、基本概念
旋转矩阵 \(R\) 是一种用于描述三维空间中刚体姿态的工具，它是一个正交矩阵且行列式为1。欧拉角是一种通过依次绕三个不同轴旋转来表示物体方向的方法，通常分为内在旋转（Z-Y-X顺序）或外在旋转（X-Y-Z顺序）。四元数则是一种扩展实数系统的代数结构，常用来高效表达三维空间中的旋转变换。
#### 二、从旋转矩阵到四元数的转换
给定一个标准形式的3×3旋转矩阵\(R=[r_{ij}]\)，可以按照以下方式将其转化为单位四元数\(q=(w, x, y, z)\)[^1]:
- 首先定义变量\(\text{tr}\)作为矩阵迹(trace):\[
\text{tr}=r_{00}+r_{11}+r_{22}
\]
- 如果\(\text{tr}>0\)，那么:\[
w=\frac{\sqrt{\text{tr}+1}}{2},\quad
x=\frac{(r_{21}-r_{12})}{4w},\quad
y=\frac{(r_{02}-r_{20})}{4w},\quad
z=\frac{(r_{10}-r_{01})}{4w}.
\]
- 若某个对角线元素较大，则可利用其他路径计算以提高数值稳定性。例如当\(r_{00}\geq r_{11}\)且\(r_{00}\geq r_{22}\):
\[
x=\frac{\sqrt{1+r_{00}-r_{11}-r_{22}}}{2},
\]
其余分量依此类推。
#### 三、从四元数转至欧拉角
假设已知四元数\(q=(w,x,y,z)\)，可以通过下面公式求得对应的滚转(roll),俯仰(pitch)与偏航(yaw)角度:
对于Tait-Bryan angles (即XYZ intrinsic rotations):
-\(yaw (\psi)=atan2(2(wx+yz),(w^2-x^2-y^2+z^2))\),
-\(pitch (\theta)=arcsin(-2(xy-wz))\),
-\(roll (\phi)=atan2(2(wy+xz),(w^2+x^2-y^2-z^2))\).
注意这里采用的是弧度制而非度数制，并需考虑反正切函数返回值范围可能带来的歧义处理问题.
#### 四、从欧拉角构建旋转矩阵
设欧拉角分别为\((\alpha,\beta,\gamma)\)(对应于绕固定框架下的xyz轴转动的角度序列)，其合成后的整体变换可用如下连乘积形式给出旋转矩阵\(R\)：
如果遵循 ZYX convention:
\[
R_z(\alpha) =
\begin{bmatrix}
cos(\alpha)& -sin(\alpha) & 0\\
sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\
0& 0 & 1
\end{bmatrix};
R_y(\beta) =
\begin{bmatrix}
cos(\beta) & 0 & sin(\beta)\\
0 & 1 & 0\\
-sin(\beta) & 0 & cos(\beta)
\end{bmatrix}; R_x(\gamma) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & cos(\gamma) & -sin(\gamma)\\
0 & sin(\gamma) & cos(\gamma)
\end{bmatrix}
\]
最终得到总旋转矩阵为\(R=R_z(\alpha)*R_y(\beta)*R_x(\gamma)\)[^3].
```python
import numpy as np
def euler_to_rotation_matrix(alpha,beta,gamma):
Rx=np.array([[1,0,0],[0,np.cos(gamma),-np.sin(gamma)],[0,np.sin(gamma),np.cos(gamma)]])
Ry=np.array([[np.cos(beta),0,np.sin(beta)],[0,1,0],[-np.sin(beta),0,np.cos(beta)]])
Rz=np.array([[np.cos(alpha),-np.sin(alpha),0],[np.sin(alpha),np.cos(alpha),0],[0,0,1]])
return np.dot(Rz,np.dot(Ry,Rx))
```
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