梯度下降法的三种形式BGD、SGD以及MBGD

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在应用机器学习算法时，我们通常采用梯度下降法来对采用的算法进行训练。其实，常用的梯度下降法还具体包含有三种不同的形式，它们也各自有着不同的优缺点。
下面我们以线性回归算法来对三种梯度下降法进行比较。

Basic

一般线性回归函数的假设函数为：\[h_\theta = \sum_{j=0}^n\theta_jx_j\]
对应的能量函数（损失函数）形式为：\[J_{train}(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2\]
下图为一个二维参数（\(\theta_0\)和\(\theta_1\)）组对应能量函数的可视化图：

批量梯度下降法BGD

批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，简称BGD）是梯度下降法最原始的形式，它的具体思路是在更新每一参数时都使用所有的样本来进行更新，其数学形式如下：

1. 对上述的能量函数求偏导：\[\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^j-h_\theta(x^i))x_j^i\]
2. 由于是最小化风险函数，所以按照每个参数\(\theta\)的梯度负方向来更新每个\(\theta\)：\[\theta_j’ = \theta_j+\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^j-h_\theta(x^i))x_j^i\]
   具体的伪代码形式为：\[repeat\{ \\ \theta_j’ = \theta_j+\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^j-h_\theta(x^i))x_j^i \\ (for \ every \ j=0,\ldots,n) \\ \}\]
   从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果样本数目m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度！所以，这就引入了另外一种方法，随机梯度下降。
   优点：全局最优解；易于并行实现；
   缺点：当样本数目很多时，训练过程会很慢。
   从迭代的次数上来看，BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下：
   

随机梯度下降法SGD

由于批量梯度下降法在更新每一个参数时，都需要所有的训练样本，所以训练过程会随着样本数量的加大而变得异常的缓慢。随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，简称SGD）正是为了解决批量梯度下降法这一弊端而提出的。
将上面的能量函数写为如下形式：\[J(\theta) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^j-h_\theta(x^i))^2 = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^mcost(\theta,(x^i,y^i)) \]\[cost(\theta,(x^i,y^i)) = \frac{1}{2}(y^j-h_\theta(x^i))^2\]
利用每个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新\(\theta\)：\[\theta_j’ = \theta_j+(y^j-h_\theta(x^i))x_j^i\]
具体的伪代码形式：\[Randomly \ shuffle \ dataset ; \\ repeat\{ \\for \ i=0,\ldots,m \{ \\ \theta_j’ = \theta_j+(y^j-h_\theta(x^i))x_j^i \\ (for \ j=0,\ldots,n) \\ \} \}\]
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将\(\theta\)迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
优点：训练速度快；
缺点：准确度下降，并不是全局最优；不易于并行实现。
从迭代的次数上来看，SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下:

小批量梯度下降法MBGD

有上述的两种梯度下降法可以看出，其各自均有优缺点，那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢？即，算法的训练过程比较快，而且也要保证最终参数训练的准确率，而这正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD）的初衷。
MBGD在每次更新参数时使用b个样本（b一般为10），其具体的伪代码形式为：\[Say \ b=10,m=1000. \\ Repeat\{ \\ for \ i=1,11,21,31,\ldots,991\{ \\\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{10}\sum_{k=i}^{i+9}(h_\theta(x^{(k)})-y^{(k)})x_j^{(k)} \\ \} \}\]

总结

Batch gradient descent: Use all examples in each iteration；
Stochastic gradient descent: Use 1 example in each iteration；
Mini-batch gradient descent: Use b examples in each iteration.

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