墨卡托投影

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本文深入探讨了墨卡托投影的概念及其数学原理，包括正轴等角圆柱投影的特点与应用，特别是其在航空与航海领域的关键作用。文章详细介绍了WGS84坐标系下的墨卡托投影正反解公式，并提供了实用的坐标转换算法，帮助读者理解如何在不同坐标系统间进行精确转换。

转载自：墨卡托投影实现，墨卡托投影，WGS84坐标与web墨卡托投影坐标转换

1.墨卡托投影：

又称正轴等角圆柱投影，由荷兰地图学家墨卡托(G.Mercator)于1569年创拟。假设地球被套在一个圆柱中，赤道与圆柱相切，然后在地球中心放一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，就形成以一幅墨卡托投影的世界地图（如下图）。因其等角特性，广泛应用与航空、航海中。

公式参数：

a——椭球体长半轴
b——椭球体短半轴
f——扁率 \((a-b)/a\)
e——第一偏心率 \(e=\sqrt{1-(b/a)^2}\)
e'——第二偏心率 \(e=\sqrt{(a/b)^2-1}\)
N——卯酉圈曲率半径 \(\frac{a^2/b}{\sqrt{1+e'^2*cos^2B}}\)
R——子午圈曲率半径 \(\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2*sin^2B)^{3/2}}\)
B——纬度
L——经度（单位rad）
\(X_N\)——纵直角坐标
\(Y_E\)——横直角坐标，单位米(M)

2.椭球体参数：

WGS84参数：长半轴：6378137；短半轴：6356752.3142

3.墨卡托投影正反解公式

墨卡托投影正解公式：（B,L）→(X,Y)，标准纬度\(B_0\)，原点纬度 0，原点经度\(L_0\)

\[X_N = Kln[tg(\frac{\pi}{4}+\frac{B}{2})*(\frac{1-esinB}{1+esinB})^{e/2}]\]

\[Y_E = K(L-L_0)\]

\[K=N_{B_0}*cos(B_0)=\frac{a^2/b}{\sqrt{1+e'^2*cos^2{B_0}}}*cos{B_0}\]

墨卡托投影反解公式：(X,Y) →（B,L），标准纬度\(B_0\)，原点纬度 0，原点经度\(L_0\)

\[B=\frac{\pi}{2}-2arctg(EXP(-\frac{X_N}{K})*EXP^{(\frac{e}{2})ln(\frac{1-esinB}{1+esinB})})\]

\[L=\frac{Y_E}{K}+L_0\]

P.S.公式中EXP 为自然对数底，纬度B 通过迭代计算很快就收敛了。

4.WGS84坐标与web墨卡托投影坐标转换

//把地球视为球体实现经纬度和墨卡托投影的函数
typedef struct Point
{
    double x;
    double y;
}WayPoint;

//经纬度转墨卡托
WayPoint lonLat2Mercator(WayPoint lonLat)
{
    WayPoint mercator;
    double x = lonLat.x * 20037508.34 / 180;
    double y = log(tan((90 + lonLat.y) * Pi / 360))/(Pi / 180);  
    y = y * 20037508.34 / 180;
    mercator.x = x;
    mercator.y = y;
    return mercator;
}

//墨卡托转经纬度
WayPoint Mercator2lonLat(WayPoint mercator)
{
    WayPoint lonLat;
    double x = mercator.x / 20037508.34 * 180;
    double y = mercator.y / 20037508.34 * 180;
    y = 180 / Pi * (2 * atan(exp(y * Pi / 180)) - Pi / 2);
    lonLat.x = x;
    lonLat.y = y;
    return lonLat;
}

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