一个月有多少天

农历的一个月究竟是多少天? 现在来推算一下。

1。万有引力。万有引力的公式是，
$$F=\frac{GMm}{R^2}$$
其中，万有引力常数：
$$G=6.67\ast 10^{-11},$$
地球的物质量，以下简称质量：
$$M=5.965\ast 10.0^{24}(kg)$$
地球到月亮的距离：
$$R=38.4\ast 10^7(m)$$
月亮的质量大约是地球的1/81。这个数据无所谓，计算的时候会约掉。

2。向心加速度。月亮绕地球作圆周运动，向心力是地球对月亮的万有引力。
$$F=ma=\frac{GMm}{R^2}$$
$$a=\lim dv/dt=\frac{v\ast 2d(sin(\frac{1}{2}\theta ))}{dt}=v\omega$$
这样得到，
$$\frac{GM}{R^2}=v\omega ={\omega }^{2}R=(\frac{2\pi }{T}{)}^{2}R$$
$$T=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$
这就可以求出月亮绕地球公转周期。

3。月亮的公转周期

G=6.67*10.0**(-11);
M= 5.965*10.0**24;
R=38.4*10**7;

func cycle(r)
{
G=6.67*10.0**(-11);
M= 5.965*10.0**24;
pi= deg2rad(180);
T = 2*pi*(r**3/(G*M))**0.5;
day = 1.0*24*60*60;
print z=T/day;
return z;
}
saving cycle...used func[1].

T =cycle(R);
27.434359

求得月亮绕地球公转周期是27.4天。搜索一下，看到精确值是27.32166天。在合理的误差范围内。说明这个计算是正确的。

但是大家明明觉得一个月是29~30天，这是什么原因呢？

4。时钟交汇问题
时钟交汇问题是这样一个问题，分针每小时走1圈，时针每小时走1/12圈，这次交汇后下次什么时间再次交汇？肯定不是1小时。因为分针走的时候时针也在走，肯定要多于1小时，然后分针追上时针。

分针的角速度是，
$$M=\frac{2\pi }{1}$$时针的角速度是，
$$H=\frac{2\pi }{12}$$
所以得到方程
$$Mx-Hx=2\pi$$
$$x=\frac{12}{11}=1\frac{1}{11}$$
单位是小时。

同理，月亮公转一周时，地球也（绕日）走了27.4天。月亮需要追上这个落差。这样如果原来在满月线上，现在还是在满月线上。
$$M=\frac{2\pi }{27.4}$$$$E=\frac{2\pi }{365}$$$$Mx-Ex=2\pi$$
求得，
$$x=\frac{1}{\frac{1}{27.4}-\frac{1}{365}}$$

func inv(x) {return 1.0/x;}

print inv(inv(27.4)-inv(365));
29.623815

如果用更精确的值代入，

M= 27.32166;
E= 365.2422;
print T=inv(inv(M)-inv(E));
29.530680

转化成时分秒是，29天12小时44分10秒。跟精确值29天12小时44分3秒相比，误差是7秒。

5。结论
所以可以知道农历的一个月大约是29.5天。