SSIM 原理及公式

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date: 2022-01-18 12:53

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什么是SSIM？

Structural Similarity 结构相似性，源自论文《Image Quality Assessment: From Error Visibility to Structural Similarity》（图像质量评估：从错误可见性到结构相似性）。

在SSIM 被提出之前被广泛应用的是MES，因为它计算简单，物理意义明确。

MSE公式：

$$MSE=\frac{1}{mn}\sum _{i=0}^{m-1}\sum _{j=0}^{n-1}[I(i,j)-K(i,j){]}^2$$

就是 element-wise 地计算重建图像与输入图像的像素差的平方，然后在全图上求平均。
下图可以看出，MSE 反应的距离和人力的直观感受有很大差别。

左侧为原图，中间为把灰度值调整为原来额0.9 倍的图，右侧为高斯模糊的图。以MSE 为评价指标则右图与原图更接近，和人类观感不同。

由于MSE不能表达人的视觉系统对图片的直观感受（涉及生物学），因此作者提出了更为科学的SSIM 评价指标。SSIM 更侧重于两图的结构相似性，而不是逐像素计算亮度的差异。作者声称其比MSE 更能反应人类视觉系统对两幅图相似性的判断。

SSIM 评价如何实现？

作者将两幅图的相似性比较拆成了三个维度：亮度（luminance）$l(x,y)$，对比度（contrast）$c(x,y)$，结构（structure）$s(x,y)$。
最终x和y 的相似度为这三者的函数：

$$S(x,y)=f(l(x,y),c(x,y),s(x,y))$$

作者设计的三个公式定量计算三者的相似性，公示的设计遵顼三个原则：
对称性：$s(x,y)=s(y,x)$
有界性：$s(x,y)<=1$
极限值唯一：$s(x,y)=1$ 当且仅当 x=y

亮度

如果一幅图有 N 个像素点，每个像素点的像素值为xi，那么该图像的平均亮度为：
图像亮度平均值：

$${\mu }_x=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i$$

亮度相似度：

$$l(x,y)=\frac{2{\mu }_x{\mu }_y+C1}{{\mu }_x^2+{\mu }_y^2+C1}$$

$C_1$ 是防止分母为0 的系数

$$C_1=(K_{1}L{)}^2$$

K1 是一个常数，取值0.01，L 是灰度的动态范围，和图像数据的类型有关，如果是uint8 类型则L=255，如果是float则L=1。公式堆成且始终小于等于1，当x=y时为1。

对比度

对比度反应的时图像明暗变化的剧烈程度，也就是像素值的标准差。公式：

$${\sigma }_x=(\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-{\mu }_x{)}^2{)}^{1/2}$$

对比度的相似度公式和亮度相似度公式极为相似，只不过把均值换成了方差。作者定义：

$$c(x,y)=\frac{2{\sigma }_x{\sigma }_y+C_2}{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+C_2}$$

其中

$$C_2=(K_{2}L{)}^2$$

K2 一般在代码中取0.03。对比度相似公式堆成且小于等于1。

结构相似度

对于一幅图而言，亮度和对比度是标量，而结构无法用要给标量表示，而应该用全图所有像素组成的向量表示。同时，研究结构相似度时应该排除亮度和对比度的影响，即排除均值和标准差的影响。因此作者研究的是归一化的两个想想：$(x-{\mu }_x)/{\sigma }_x$ 和 $(y-{\mu }_y)/{\sigma }_y$ 之间的关系。

结构比较函数：

$$s(x,y)=\frac{{\sigma }_{xy}+C_3}{{\sigma }_x{\sigma }_y+C_3}$$

协方差公式

$${\sigma }_{xy}=\frac{1}{N-1}\sum _{i=1}^N(x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y)$$

SSIM

结合前面三个公式

$$SSIM(x,y)=f(l(x,y),c(x,y),s(x,y))$$

令C3=C2/2,c(x,y) 和 s(x,y) 的分母可以约分，最终得到SSIM 公式：

$$SSIM(x,y)=\frac{(2{\mu }_x{\mu }_y+C_1)(2{\sigma }_{xy}+C_2)}{({\mu }_x^2+{\mu }_y^2+C_1)({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+C_2)}$$

然而上面的公式不能应用于整幅图，因为在整幅图的跨度上均值和方差往往变化剧烈。作者采用 sliding window 以步长为 1 计算两幅图各个对应 sliding window 下的 patch 的 SSIM，然后取平均值作为两幅图整体的 SSIM，称为 Mean SSIM。简写为 MSSIM。
假如整幅图有 M 个 patch，那么 MSSIM 公式为：

$$MSSIM(X,Y)=\frac{1}{M}\sum _{j=1}^{M}SSIM(x_j,y_j)$$

使用MSSIM 计算相似度：

图像处理中的SSIM

参考链接

1. SSIM 的原理和代码实现

补充概念

方差(variance)

定义：用于衡量一组数据的离散程度。在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum (X-\mu {)}^2$$

$\sigma$ 为总体方差，$X$为变量，$\mu$为总体均值，$N$为总体例数。

标准差(Standard Deviation)

定义：标准差（Standard Deviation） ，是离均差平方的算术平均数（方差）的算术平方根，用σ表示。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。

$$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (X-\mu {)}^2}{N}}$$

标准差越小说明数据越集中。

协方差(Covariance)

协方差用来刻画两个随机变量 X ， Y 之间的相关性

如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。

如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

协方差的公式如下：

$$\sigma (x,y)=\frac{1}{N}\sum (x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y)$$

方差就是协方差的一种特殊形式，当两个变量相同时，协方差就是方差了。

公式2：

$$Cov=E[(X-{\mu }_x)(Y-{\mu }_y)]$$

可以有如下理解：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值。

余弦相似度

$$cos(\theta )=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i\ast Y_i)}{\sqrt{(}{\sum }_{i=1}^n(X_i{)}^2)\ast \sqrt{(}{\sum }_{i=1}^n(Y_i{)}^2)}$$

余弦值越接近1，就表明夹角越接近0度，也就是两个向量越相似，夹角等于0，即两个向量相等，这就叫"余弦相似性"。