最小生成树之Prim（普里姆）算法

注明：本博客参考《数据结构教程》第4版

（一）知识准备

在开始学习Prim算法之前，我们需要对图有一定的了解，且知道图的存储方式（本博客基于无向图和邻接矩阵的知识），同时我们要了解什么是生成树？一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图，它是含有图的全部顶点，但只有构成一棵树的（n-1）条边，而最小生成树则是在生成树的基础上，要求树的（n-1）条边的权值之和是最小的。由此可以总结构造最小生成树的要求有：（1）必须只使用该图中的边来构造最小生成树；（2）必须使用且仅使用（n-1）条边来连接图中的n个顶点；（3）不能使用产生回路的边；（4）要求树的（n-1）条边的权值之和是最小的。

（二）算法初识

接着开始我们的Prim算法的学习！首先我们先来认识下Prim算法的基础认识（后面我们会更加严谨的给出其定义与推算过程）：通过选点来构造最小生成树，每次（第一次
可随意挑选）从中挑选当前最适合的（即选俩点的权值最小的，使构造的当前生成树最小）点来构造最小生成树。

（三）算法实例演示

首先让我们来看一个example。如下图所示，图a是一个连通图（右图是图a对应的邻接矩阵，假设图中的边的权值大于0），我们现在基于该图来演示Prim算法的过程。

 

我们选择一个起点，然后在与起点相连且未被选的节点中选择一个权值最小的节点，将该节点与其相连边添加入生成树。假设起点是0节点，与0节点相连且未被选的节点是{1,2,3}，分别对应的权值是{ 6,1,5}，可见当前最小的权值1，权值最小的节点就是2节点，所以将2节点和0-2的边添加入生成树，如图b所示。