17、结合整数规划的变邻域搜索求解带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题

结合整数规划的变邻域搜索求解带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题

1. 引言

带设置成本的 0 - 1 多选择背包问题（MCKS）是一种在目标函数和约束条件中都考虑了额外设置变量的背包问题。它在涉及设置和机器偏好的生产调度问题中有实际应用。MCKS 是 NP 难问题，因为它是标准背包问题（KP）的推广。当只考虑一个类别且无设置变量时，MCKS 退化为 KP；当周期数等于 1 时，带设置成本的背包问题（KPS）是 MCKS 的一个特例。

为解决不同变体的 KP 问题，文献中引入了多种精确技术，如分支限界算法、拉格朗日分解和动态规划等，也开发了近似算法，如反应式局部搜索技术、禁忌搜索、粒子群优化等。此外，精确方法和元启发式方法的混合技术也被许多研究人员采用，这种技术结合了两种方法的优点。

2. 问题描述

多选择背包问题由背包容量 $b \in N$、一组 $T$ 个分区（周期）以及一组 $N$ 个物品类别定义。每个类别 $i \in {1, \ldots, N}$ 包含 $n_i$ 个物品。$f_{it}$（负数）表示类别 $i$ 在分区 $t$ 中的设置成本，$d_i$（正数）表示类别 $i$ 的设置容量消耗。每个类别 $i$ 的物品 $j \in {1, \ldots, n_i}$ 有利润 $c_{ijt} \in N$ 和容量消耗 $a_{ij} \in N$。使用两组二进制决策变量 $y_{it}$ 和 $x_{ijt}$ 分别表示类别和物品分配到背包分区的情况。

MCKS 的数学模型如下：
- 目标函数：
- $\text{Max } z = \sum_{t = 1}^{T} \sum_{i = 1}^{N