52、探索基于 SIDH 的签名参数

探索基于 SIDH 的签名参数

1. 椭圆曲线与同态环

在椭圆曲线的研究中，同态等概念起着关键作用。同构 $\hat{\varphi}$ 被称为 $\varphi$ 的对偶。椭圆曲线 $E$ 的自同态是从 $E$ 到 $E$ 的同构。$E$ 的所有自同态的集合在加法和复合运算下构成一个环，记为 $End(E)$，称为 $E$ 的自同态环。在有限域上，椭圆曲线的自同态环要么是虚二次域中的一个序，要么是四元数代数中的一个极大序。前者对应普通曲线，后者对应超奇异曲线，本文主要使用超奇异曲线。

2. 四元数代数

设 $p$ 为素数，$B_{p,\infty}$ 表示仅在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数，定义为：
$B_{p,\infty}=\left(\frac{-q, -p}{\mathbb{Q}}\right)=\mathbb{Q} + i\mathbb{Q} + j\mathbb{Q} + k\mathbb{Q}$
其中 $0\neq q\in\mathbb{N}$，$i^2 = -q$，$j^2 = -p$，$k = ij = -ji$。

$p$-极值极大序是包含 $j$ 的极大序。例如，包含 $\mathbb{Z}\langle i, j\rangle=\mathbb{Z} + i\mathbb{Z} + j\mathbb{Z} + k\mathbb{Z}$ 作为子环的极大序就是 $p$-极值极大序。对于这样的极大序 $\mathcal{O}$，若 $R = \mathcal{O} \cap \mathbb{Q}[i]$ 是 $\mathbb{Q}[i]$ 的整数环 $\mathbb{Z}[\omega]$，则范数在