17、非线性最小二乘法在圆、球体和圆柱体拟合中的应用

非线性最小二乘法在圆、球体和圆柱体拟合中的应用

1 引言

在处理曲面上的表面纹理测量时，通常需要一个预处理步骤，以在过滤之前去除名义几何形状。圆形、球体和圆柱体是最常见的几何形状。因此，本章将讨论获取这些最小二乘（LS）最佳拟合几何形状的方法。我们将从圆的拟合开始，然后扩展到球体和圆柱体。

2 圆心和半径的初步估计

在解决非线性最小二乘问题时，一个好的初始估计至关重要。Forbes（1989）提出了一种简化目标函数的方法，使得结果中的偏微分在未知数上是线性的，从而确定中心和半径的初始估计值。具体来说，通过近似目标函数 ( E )，可以将复杂的非线性问题转化为线性方程组，便于求解。

2.1 目标函数的简化

目标函数 ( E ) 可以表示为：
[ E = \sum_{i=1}^{n} d(i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (R(i) - r)^2 ]

其中 ( R(i) ) 是测量半径，( r ) 是拟合半径。为了简化这个问题，可以将 ( E ) 近似为：
[ E \approx \sum_{i=1}^{n} (R(i)^2 - r^2) ]

通过代入 ( R(i) ) 并展开，可以得到以下线性方程组：
[ E = \sum_{i=1}^{n} ((x(i) - x_c)^2 + (z(i) - z_c)^2 - r^2) ]
[ = \sum_{i=1}^{n} (-2x(i)x_c - 2z(i)z_c + \rho + x(i)^2 + z(i)^2) = 0 ]

其中 ( \rho = x_c^2 + z_c^2 - r