斜率优化详解

别担心，斜率优化不是什么很毒瘤的数学知识。

例题

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朴素做法

但这 $O(n^2)$ 的做法当然不是我们追求的~

斜率优化

这个优化很强，直接把 $dp$ 优化成 $O(nlogn)$ 甚至是 $O(n)$ 的，所以这几乎是一个算法了。

具体是，我们需要寻找到 $dp$ 方程中的单调性，发现单调性之后，就可以直接找到最优的那个，直接从它转移过来即可。

那么先写出这个例题的转移方程（数组的定义在朴素做法里面）：
f [ i ] = min ⁡ j = 0 i − 1 { f [ j ] + t [ i ] × ( c [ i ] − c [ j ] ) + s × ( c [ n ] − c [ j ] ) } f[i]=\min\limits_{j=0}^{i-1}\{f[j]+t[i]\times (c[i]-c[j])+s\times (c[n]-c[j])\} f[i]=j=0mini−1​{f[j]+t[i]×(c[i]−c[j])+s×(c[n]−c[j])}

于是开始寻找单调性：假如从 $j$ 转移到 $i$ 比从 $k$ 转移到 $i$ 更优（且 $j>k$），那么需要满足：
$$f[j]+t[i]\times (c[i]-c[j])+s\times (c[n]-c[j])<f[k]+t[i]\times (c[i]-c[k])+s\times (c[n]-c[k])$$

展开得：
$$f[j]+t[i]c[i]-t[i]c[j]+c[n]s-c[j]s<f[k]+t[i]c[i]-t[i]c[k]+c[n]s-c[k]s$$

搞一搞：
$$\begin{gathered} f[j]-t[i]c[j]-c[j]s<f[k]-t[i]c[k]-c[k]s \\ f[j]-c[j](t[i]+s)<f[k]-c[k](t[i]+s) \\ f[j]-f[k]<-(c[k]-c[j])(t[i]+s) \\ \frac{f[j]-f[k]}{c[j]-c[k]}<t[i]+s \end{gathered}$$

诶？左边很像一个斜率耶。

假如有两个点坐标为 $(c[j],f[j]),(c[k],f[k])$，那么左边这个东西就是经过这两点的直线的斜率。

也就是说，假如两个点 $j,k$ 的斜率小于 $t[i]+s$，那么用 $j$ 来更新 $i$ 比用 $k$ 来更新 $i$ 更优。

把前面的 $i-1$ 个坐标（$c[j],f[j]$）画出来之后，发现只有这些点形成的下凸包上的点是有用的。

为什么呢？

显然，在最下面、最左边、最右边的点一定在下凸包上，假如我们选一个不在下凸包上的点，那么一定存在另外两个在下凸包上点，与它的位置关系满足下面三个中的一个（设该点为 $B$，另外两个在下凸包上的点为 $A$ 和 $C$）：



这三种情况有一个共同的特点，也就是 $AB$ 的斜率大于 $BC$ 的斜率。

也就是：$\frac{f[B]-f[A]}{c[B]-c[A]}>\frac{f[C]-f[B]}{c[C]-c[B]}$   $\to$   $\frac{f[C]-f[B]}{c[C]-c[B]}<\frac{f[B]-f[A]}{c[B]-c[A]}$

那么 $t[i]+s$ 与他们的关系有三种：

1. $t[i]+s<\frac{f[C]-f[B]}{c[C]-c[B]}<\frac{f[B]-f[A]}{c[B]-c[A]}$
   此时 $B$ 比 $C$ 优，$A$ 比 $B$ 优
2. $\frac{f[C]-f[B]}{c[C]-c[B]}<t[i]+s<\frac{f[B]-f[A]}{c[B]-c[A]}$
   此时 $C$ 比 $B$ 优，$A$ 比 $B$ 优
3. $\frac{f[C]-f[B]}{c[C]-c[B]}<\frac{f[B]-f[A]}{c[B]-c[A]}<t[i]+s$
   此时 $C$ 比 $B$ 优，$B$ 比 $A$ 优

可以发现，无论如何，$B$ 都不是最优的。所以，这种上凸的点我们是不需要的，这样就证明了：答案点一定在下凸包上。

如果是下凸包的话，又有一个性质：下凸包从左往右横坐标相邻的点对斜率递增。

诶？这不就是我们要的单调性吗！那么发现，从左往右，肯定能找到一个分界点，这个点左边的 相邻的点对 的斜率 都小于 $t[i]+s$，右边的 相邻的点对 的斜率 都大于 $t[i]+s$，那么这个分界点就是我们要的答案。

二分即可。

但是！这道例题还有一个性质：$t[i]+s$ 递增。

那么我们甚至不用二分，用单调队列即可。

代码在这里。