[JZOJ5088]最小边权和

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普通动态规划与递推

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本文介绍了一种求解边权递增最短路径问题的算法，该问题涉及在一个有向图中找到从起点到终点经过不超过指定数量边的最短路径，且路径上的边权依次递增。文章提供了完整的C++代码实现，适用于节点数不多于150、边数最多5000的情况。

题目大意

给定一张 $n$ 个点， $m$ 条边的有向图，每条边有一个互不相同的边权 $w_i$ 。
有 $q$ 个询问，要你计算从点 $a$ 经过不超过 $c$ 条边到点 $b$ ，并且边权递增的最短路长度。如果没有合法路径输出 $-1$ 。

$n\le150,m\le5000,q\le1000,w_i\le5000$

题目分析

令 $f_{i,j,k}$ 表示点 $i$ 从点 $j$ 走不超过 $k$ 条边的最短合法路径长度，按照边权从小到大加边，然后每次更新边的加入边的终点就好了。
时间复杂度 $\mathrm O(m\log m+mn^2+qn)$ 。

代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int N=155;
const int M=5005;
const int INF=INT_MAX/2;

struct edge
{
    int x,y,len;

    edge(int x_=0,int y_=0,int len_=0){x=x_,y=y_,len=len_;}

    bool operator<(const edge p)const{return len<p.len;}
}e[M];

int dist[N][N][N];
int n,m,q;

void update(int &x,int y){x=x<y?x:y;}

void pre()
{
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        for (int j=1;j<=n;++j)
            for (int k=0;k<n;++k)
                dist[i][j][k]=INF;
        dist[i][i][0]=0;
    }
    sort(e+1,e+1+m);
    for (int i=1,x,y,z;i<=m;++i)
    {
        x=e[i].x,y=e[i].y,z=e[i].len;
        for (int j=1;j<=n;++j)
            for (int k=0;k<n-1;++k)
                update(dist[y][j][k+1],dist[x][j][k]+z);
    }
}

void solve()
{
    for (int x,y,upp,res;q--;)
    {
        x=read(),y=read(),upp=read();
        res=INF;
        for (int i=0;i<=upp&&i<n;++i) update(res,dist[y][x][i]);
        if (res==INF) printf("-1\n");
        else printf("%d\n",res);
    }
}

int main()
{
    freopen("sum.in","r",stdin),freopen("sum.out","w",stdout);
    n=read(),m=read(),q=read();
    for (int i=1,x,y,z;i<=m;++i) x=read(),y=read(),z=read(),e[i]=edge(x,y,z);
    pre(),solve();
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}