一种利用重链剖分优化一类树形动态规划空间复杂度的方法

Origin

在某一场GDOI模拟赛上,一道好好的点分治题目,本蒟蒻强行大力优化暴力碾了过去。这题中我算法的瓶颈不在时间复杂度,而在于空间复杂度。为了解决这个问题,我想到了一种使用重链剖分来优化空间复杂度的方法。


Problem

首先我们要明确一下这种方法的适用范围:
一个点对该点父亲的贡献,可以直接利用该点已知的信息以及该点父亲已有的信息计算得,不需要依赖该点的兄弟或者其它点的信息。
比如我们现在要讨论的这一道题目:
给定一棵 n 个节点的树,每个节点有一个颜色(颜色编号是在 [1,k] 内的整数,在这题里面 k10 ),你需要统计包含所有颜色的树路径数目。
这个显然如果我们处理出每个点为顶点然后颜色集合二进制状态为

### 芯片的概念与计算方法 芯片(Junction Temperature, Tj)是指芯片内部发热区域的度,通常是芯片内最热的部分[^3]。由于芯片在工作时会产生热量,因此通常高于芯片表面度(Case Temperature, Tc)和环境度(Ambient Temperature, Ta)。为了确保芯片的可靠性和使用寿命,设计人员需要掌握计算方法。 #### 计算公式 可以通过以下公式进行计算: - **公式 1**: \[ T_j = T_a + P \cdot R_{ja} \] 其中: - \(T_j\):(单位:°C) - \(T_a\):环境度(单位:°C) - \(P\):芯片功耗(单位:W) - \(R_{ja}\):从到环境的热阻(单位:°C/W) - **公式 2**: \[ T_j = T_c + P \cdot R_{jc} \] 其中: - \(T_c\):芯片表面度(单位:°C) - \(R_{jc}\):从芯片表面的热阻(单位:°C/W) 上述公式适用于不同的测量条件。如果可以直接测量芯片表面度,则使用公式 2 更为准确;如果只能获取环境度,则使用公式 1 进行估算[^5]。 #### 度估算方法 在实际应用中,可以通过以下方法对芯片进行估算: 1. **热成像仪法**: 使用热成像仪测量芯片表面度 \(T_c\),并根据芯片手册中的热阻参数 \(R_{jc}\) 计算 \(T_j\)。由于到壳的热阻较大,和壳之间的差异通常较小,一般可将壳加上 10°C 左右作为的近似值[^4]。 2. **功率损耗法**: 根据芯片的实际功耗 \(P\) 和热阻参数 \(R_{ja}\) 或 \(R_{jc}\),通过公式计算。需要注意的是,实际功耗应包括驱动功率、开关损耗和导通损耗等,且通常远小于芯片手册中给出的最大耗散功率。 3. **热仿真工具**: 使用热仿真工具(如 Flotherm)可以更精确地预测芯片分布,特别是在复杂散热环境中。这种方法能够考虑更多实际因素,如气流、材料特性等[^1]。 #### 示例代码 以下是一个简单的 Python 示例,用于根据公式计算芯片: ```python def calculate_junction_temperature(Ta, P, Rja): """ 计算芯片 :param Ta: 环境度 (°C) :param P: 芯片功耗 (W) :param Rja: 到环境的热阻 (°C/W) :return: (°C) """ Tj = Ta + P * Rja return Tj # 示例参数 Ta = 25 # 环境度 (°C) P = 2.5 # 功耗 (W) Rja = 50 # 到环境的热阻 (°C/W) # 计算 Tj = calculate_junction_temperature(Ta, P, Rja) print(f"芯片为: {Tj} °C") ```
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