一种利用重链剖分优化一类树形动态规划空间复杂度的方法

Origin

在某一场GDOI模拟赛上，一道好好的点分治题目，本蒟蒻强行大力优化暴力碾了过去。这题中我算法的瓶颈不在时间复杂度，而在于空间复杂度。为了解决这个问题，我想到了一种使用重链剖分来优化空间复杂度的方法。

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Problem

首先我们要明确一下这种方法的适用范围：
一个点对该点父亲的贡献，可以直接利用该点已知的信息以及该点父亲已有的信息计算得，不需要依赖该点的兄弟或者其它点的信息。
比如我们现在要讨论的这一道题目：
给定一棵$n$个节点的树，每个节点有一个颜色（颜色编号是在$[1,k]$内的整数，在这题里面$k\le10$），你需要统计包含所有颜色的树路径数目。
这个显然如果我们处理出每个点为顶点然后颜色集合二进制状态为