[数竞题（雾）][CodeChef]PARSIN/[JZOJ4704]Math

题目大意

有$T$组数据，每一组给定$n,m,x$，让你计算

$$\sum_{k_1+k_2+...k_m=n}\left(\prod_{i=1}^m\sin(k_ix)\right)(k_i\in \mathbb N)$$
$1\le n\le10^9,m\le30,T\le10$

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题目分析

妈呀我搞的是OI不是IMO啊！

预备知识

首先你要会高中数学必修四的三角函数内容。
以下公式证明比较简单。我就不在此给出了，想要了解的可以自己去看书或查百度。

• $\cos$和角公式：
  
  • $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$
• $\sin$和角公式：
  
  • $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)$
  • $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)$
• $\cos$二倍角公式：$\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)=\cos^2(\alpha)-(1-\cos^2(\alpha))=2\cos^2(\alpha)-1$
• $\sin$二倍角公式：$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

推公式

有了这些东西，我们就可以愉快地推公式了。
令答案为$f(n,m)$。
考虑当前$k_m$，如果$k_m=1$，那么其对答案贡献为

$$\sin(x)\prod_{i=1}^{m-1}\sin(k_ix)$$
即$\sin(x)f(n-1,m-1)$。
如果$k_m>1$咧？
我们要推公式了，咳咳：
$$\sin(kx)=\begin{cases} \sin((k-1)x+x)=\sin((k-1)x)\cos(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)\\ \sin((k-2)x+2x)=\sin((k-2)x)\cos(2x)+\cos((k-2)x)\sin(2x) \end{cases}$$
两式相加：
$$\begin{align} 2\sin(kx)&=\sin((k-1)x)\cos(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)+\sin((k-2)x)\cos(2x)+\cos((k-2)x)\sin(2x)\\ &=\sin((k-1)x)\cos(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)+\sin((k-2)x)(2\cos^2(x)-1)+2\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)\\ &=2\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+2\sin((k-2)x)\cos^2(x)-\sin((k-2)x) +\sin((k-2)x+x)\cos(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)\\ &=2\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+2\sin((k-2)x)\cos^2(x)-\sin((k-2)x) +[\sin((k-2)x)\cos(x)+\cos((k-2)x)\sin(x)]\cos(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)\\ &=3\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+3\sin((k-2)x)\cos^2(x)+\cos((k-1)x)\sin(x)-\sin((k-2)x)\\ &=3\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+3\sin((k-2)x)\cos^2(x)-\sin((k-2)x)+[\cos((k-2)x)\cos(x)-\sin((k-2)x)\sin(x)]\sin(x)\\ &=4\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+3\sin((k-2)x)\cos^2(x)-\sin((k-2)x)-\sin((k-2)x)\sin^2(x)\\ &=4\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+3\sin((k-2)x)\cos^2(x)-\sin((k-2)x)-\sin((k-2)x)[1-\cos^2(x)]\\ &=4\cos((k-2)x)\sin(x)\cos(x)+4\sin((k-2)x)\cos^2(x)-2\sin((k-2)x)\\ &=4\cos(x)[\cos((k-2)x)\sin(x)+\sin((k-2)x)\cos(x)]-2\sin((k-2)x)\\ &=4\cos(x)\sin((k-1)x)-2\sin((k-2)x)\\ \end{align}$$
用$LATEX$写到这里，我耗尽了所有的力气……
然后除以二得到$\sin(kx)=2\cos(x)\sin((k-1)x)-\sin((k-2)x)$。
然后我们发现这个和$k-1$，$k-2$有关。
整理得到$f_{n,m}=\sin(x)f(n-1,m-1)+2\cos(x)f(n-1,m)-f(n-2,m)$。这个可能有点难理解，你展开一下就明白了。
有了这些，我们直接矩阵乘法快速幂就好了。
时间复杂度$\mathrm O(m^3\log_2n)$。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int M=35;
const int S=M<<1;

typedef double db;

struct matrix
{
    db num[S][S];
    int r,c;
}one,zero,mat;

matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    c.r=a.r,c.c=b.c;
    for (int i=0;i<c.r;i++)
        for (int j=0;j<c.c;j++)
        {
            c.num[i][j]=0;
            for (int k=0;k<a.c;k++) c.num[i][j]+=a.num[i][k]*b.num[k][j];
        }
    return c;
}

matrix operator^(matrix a,int y)
{
    matrix ret=zero;
    for (;y;y>>=1,a=a*a) if (y&1) ret=ret*a;
    return ret;
}

db X,cosX,sinX,ans;
int T,n,m,s;

int main()
{
    freopen("math.in","r",stdin),freopen("math.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&T);T;T--)
    {
        scanf("%d%d%lf",&m,&n,&X);
        cosX=cos(X),sinX=sin(X),s=m+1<<1;
        memset(zero.num,0,sizeof zero.num),memset(one.num,0,sizeof one.num);
        zero.r=zero.c=one.r=one.c=s;
        for (int i=0;i<s;i++) zero.num[i][i]=1.0;
        for (int i=0;i<=m;i++) one.num[i][i+m+1]=1.0;
        for (int i=0;i<=m;i++)
        {
            one.num[i+m+1][i]=-1.0,one.num[i][i]=2*cosX;
            if (i) one.num[i-1][i]=sinX;
        }
        memset(mat.num,0,sizeof mat.num);
        mat.r=1,mat.c=s;
        mat.num[0][1]=sinX;
        mat=mat*(one^(n-1));
        ans=mat.num[0][m];
        if (ans>0) putchar('+');
        else putchar('-'),ans=-ans;
        while (ans>10) ans/=10.0;
        while (ans<1) ans*=10.0;
        printf("%d\n",(int)ans);
    }
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}