[TJOI&HEOI2016]seq/[JZOJ4606]序列

题目大意

一个长度为$n$的序列$a$，有$m$种变换可能，将$a_x$变为$y$。
现在你需要求出一个子序列，使得不管发生哪种变换（最多只会发生一种变换，可能不发生），该序列都是不下降的。
$1\le n,m,a_i,y\le10^5$

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题目分析

定义$mx_i$为位置$i$上的数最大变化值，$mi_i$为最小变化值。
动态规划

$$f_i=max_{j<i,mx_j\le a_i,a_j\le mi_i}\{f_j\}+1$$
第一个约束顺序解决。
第二三个约束看成二维平面上的点，树套树解决，空间要卡好，不要炸了。我码了棵树状数组套线段树，时间复杂度$\mathrm O(nlog_2^2n)$，空间复杂度远小于上界$\mathrm O(nlog_2^2n)$。
然而第二个约束可以使用$cdq$分治解决，虽然时间复杂度也是$\mathrm O(nlog_2^2n)$，但常数较树套树少很多，而且空间复杂度$\mathrm O(n)$。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int S=10050000;
const int N=100005;
const int A=100000;
const int LGA=17;

int tmp[LGA];

int lowbit(int x){return x&-x;}

struct chairman_tree
{
    int son[S][2],v[S];
    int root[A+10];
    int tot;

    int newnode(){return ++tot;}

    int query(int *rt,int st,int en,int l,int r)
    {
        int i,ret=0;
        if (st==l&&en==r)
        {
            for (i=1;i<=rt[0];i++) ret=max(v[rt[i]],ret);
            return ret;
        }
        int mid=l+r>>1,t[LGA];
        t[0]=rt[0];
        if (en<=mid)
        {
            for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][0];
            return query(t,st,en,l,mid);
        }
        else
            if (mid+1<=st)
            {
                for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][1];
                return query(t,st,en,mid+1,r);
            }
            else
            {
                for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][0];
                ret=query(t,st,mid,l,mid);
                for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][1];
                ret=max(query(t,mid+1,en,mid+1,r),ret);
                return ret;
            }
    }

    void modify(int *rt,int x,int l,int r,int edit)
    {
        int i,ret=0;
        for (i=1;i<=rt[0];i++)
        {
            if (!rt[i]) rt[i]=newnode();
            v[rt[i]]=max(v[rt[i]],edit);
        }
        if (l==r) return;
        int mid=l+r>>1,t[LGA];
        t[0]=rt[0];
        if (x<=mid)
        {
            for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][0];
            modify(t,x,l,mid,edit);
            for (i=1;i<=rt[0];i++) son[rt[i]][0]=t[i];
        }
        else
        {
            for (i=1;i<=rt[0];i++) t[i]=son[rt[i]][1];
            modify(t,x,mid+1,r,edit);
            for (i=1;i<=rt[0];i++) son[rt[i]][1]=t[i];
        }
    }
}t;

int a[N],mi[N],mx[N],f[N];
int n,m,ans;

void dp()
{
    for (int i=1,j,l;i<=n;i++)
    {
        for (l=mi[i],tmp[0]=0;l;l-=lowbit(l)) tmp[++tmp[0]]=t.root[l];
        f[i]=t.query(tmp,1,a[i],1,A)+1;
        ans=max(ans,f[i]);
        for (l=a[i],tmp[0]=0;l<=A;l+=lowbit(l)) tmp[++tmp[0]]=t.root[l];
        t.modify(tmp,mx[i],1,A,f[i]);
        for (l=a[i],j=1;l<=A;j++,l+=lowbit(l)) t.root[l]=tmp[j];
    }
}

int main()
{

    freopen("sequence.in","r",stdin),freopen("sequence.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) mi[i]=mx[i]=a[i]=read();
    for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        x=read(),y=read();
        mi[x]=min(mi[x],y),mx[x]=max(mx[x],y);
    }
    dp();
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}