[CF280D/CF172][BZOJ3272/3638][JZOJ4400]k-Maximum Subsequence Sum

题目大意

给定数列$\{a_n\}$，要求维护以下操作和询问：
$\bullet$将$a_i$赋值为$val$
$\bullet$在区间$[l,r]$中选出最多$k$个互不相交的子段列，最大化这些选中的数的和，输出这个最大值
操作和询问共$m$个。

$1\le n\le 10^5,1\le m\le 10^5,|a_i|\le 500,|val|\le 500,1\le k\le 20$

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题目分析

先来想想大暴力怎么做询问。
我们将每个数拆成两个点$A$和$B$，从$A$向$B$连一条容量为$1$，费用为$a_i$的边，然后从$S$向$A$连容量无穷大费用$0$的边，$B$向$T$类似。然后相邻两位的$B$向$A$连容量$1$费用$0$的边。跑$k$次流量为$1$的最大费用流即可。
可以发现这个增广过程其实就是选出一段最大子段和然后全部取反。
那么我们直接使用线段树维护即可。支持操作有查询区间子段和极值和位置，区间取反，单点修改。
时间复杂度$\mathrm O(kn\ log_2n)$。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=100050;
const int K=25;

int rs[K][2];
int tot,n,m;
int a[N];

struct D
{
    int ls[2][2],rs[2][2],ans[2][3];
    bool tag;
    int sum;
};

D operator+(D x,D y)
{
    D ret;
    ret.tag=false;
    ret.sum=x.sum+y.sum;
    if (x.ls[0][0]>x.sum+y.ls[0][0])
        ret.ls[0][0]=x.ls[0][0],ret.ls[0][1]=x.ls[0][1];
    else
        ret.ls[0][0]=x.sum+y.ls[0][0],ret.ls[0][1]=y.ls[0][1];
    if (x.ls[1][0]<x.sum+y.ls[1][0])
        ret.ls[1][0]=x.ls[1][0],ret.ls[1][1]=x.ls[1][1];
    else
        ret.ls[1][0]=x.sum+y.ls[1][0],ret.ls[1][1]=y.ls[1][1];
    if (y.rs[0][0]>y.sum+x.rs[0][0])
        ret.rs[0][0]=y.rs[0][0],ret.rs[0][1]=y.rs[0][1];
    else
        ret.rs[0][0]=y.sum+x.rs[0][0],ret.rs[0][1]=x.rs[0][1];
    if (y.rs[1][0]<y.sum+x.rs[1][0])
        ret.rs[1][0]=y.rs[1][0],ret.rs[1][1]=y.rs[1][1];
    else
        ret.rs[1][0]=y.sum+x.rs[1][0],ret.rs[1][1]=x.rs[1][1];
    ret.ans[0][0]=x.ans[0][0],ret.ans[0][1]=x.ans[0][1],ret.ans[0][2]=x.ans[0][2];
    if (ret.ans[0][0]<y.ans[0][0])
        ret.ans[0][0]=y.ans[0][0],ret.ans[0][1]=y.ans[0][1],ret.ans[0][2]=y.ans[0][2];
    if (ret.ans[0][0]<x.rs[0][0]+y.ls[0][0])
        ret.ans[0][0]=x.rs[0][0]+y.ls[0][0],ret.ans[0][1]=x.rs[0][1],ret.ans[0][2]=y.ls[0][1];
    ret.ans[1][0]=x.ans[1][0],ret.ans[1][1]=x.ans[1][1],ret.ans[1][2]=x.ans[1][2];
    if (ret.ans[1][0]>y.ans[1][0])
        ret.ans[1][0]=y.ans[1][0],ret.ans[1][1]=y.ans[1][1],ret.ans[1][2]=y.ans[1][2];
    if (ret.ans[1][0]>x.rs[1][0]+y.ls[1][0])
        ret.ans[1][0]=x.rs[1][0]+y.ls[1][0],ret.ans[1][1]=x.rs[1][1],ret.ans[1][2]=y.ls[1][1];
    return ret;
}

struct segment_tree
{
    D d[N<<2];

    void R(int x)
    {
        d[x].tag^=1;
        swap(d[x].ans[0][0],d[x].ans[1][0]),swap(d[x].ans[0][1],d[x].ans[1][1]),swap(d[x].ans[0][2],d[x].ans[1][2]);
        swap(d[x].ls[0][0],d[x].ls[1][0]),swap(d[x].ls[0][1],d[x].ls[1][1]);
        swap(d[x].rs[0][0],d[x].rs[1][0]),swap(d[x].rs[0][1],d[x].rs[1][1]);
        d[x].ans[0][0]*=-1,d[x].ans[1][0]*=-1;
        d[x].ls[0][0]*=-1,d[x].ls[1][0]*=-1;
        d[x].rs[0][0]*=-1,d[x].rs[1][0]*=-1;
        d[x].sum*=-1;
    }

    void clear(int x,int l,int r)
    {
        if (l==r)
            return;
        if (d[x].tag)
        {
            R(x<<1),R(x<<1|1);
            d[x].tag=false;
        }
    }

    void update(int x)
    {
        bool rec=d[x].tag;
        d[x]=d[x<<1]+d[x<<1|1];
        d[x].tag=rec;
    }

    void build(int x,int l,int r)
    {
        if (l==r)
        {
            d[x].sum=d[x].ls[0][0]=d[x].ls[1][0]=d[x].rs[0][0]=d[x].rs[1][0]=d[x].ans[0][0]=d[x].ans[1][0]=a[l];
            d[x].ls[0][1]=d[x].ls[1][1]=d[x].rs[0][1]=d[x].rs[1][1]=d[x].ans[0][1]=d[x].ans[0][2]=d[x].ans[1][1]=d[x].ans[1][2]=l;
            d[x].tag=false;
            return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        build(x<<1,l,mid),build(x<<1|1,mid+1,r);
        update(x);
    }

    D query(int x,int st,int en,int l,int r)
    {
        clear(x,l,r);
        if (st==l&&en==r)
            return d[x];
        int mid=l+r>>1;
        if (en<=mid)
            return query(x<<1,st,en,l,mid);
        else
            if (mid+1<=st)
                return query(x<<1|1,st,en,mid+1,r);
            else
                return query(x<<1,st,mid,l,mid)+query(x<<1|1,mid+1,en,mid+1,r);
    }

    void reverse(int x,int st,int en,int l,int r)
    {
        clear(x,l,r);
        if (st==l&&en==r)
        {
            R(x);
            return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        if (en<=mid)
            reverse(x<<1,st,en,l,mid);
        else
            if (mid+1<=st)
                reverse(x<<1|1,st,en,mid+1,r);
            else
                reverse(x<<1,st,mid,l,mid),reverse(x<<1|1,mid+1,en,mid+1,r);
        update(x);
    }

    void change(int x,int y,int l,int r,int edit)
    {
        clear(x,l,r);
        if (l==r)
        {
            d[x].sum=d[x].ls[0][0]=d[x].ls[1][0]=d[x].rs[0][0]=d[x].rs[1][0]=d[x].ans[0][0]=d[x].ans[1][0]=a[l]=edit;
            return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        if (y<=mid)
            change(x<<1,y,l,mid,edit);
        else
            change(x<<1|1,y,mid+1,r,edit);
        update(x);
    }
}t;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))
    {
        if (ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while (isdigit(ch))
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

int main()
{
    freopen("diyiti.in","r",stdin);
    freopen("diyiti.out","w",stdout);
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    t.build(1,1,n);
    m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int op=read();
        if (!op)
        {
            int x=read(),y=read();
            t.change(1,x,1,n,y);
        }
        else
        {
            int d=read(),r=read(),k=read();
            int maxcost=0;
            while (k--)
            {
                D get=t.query(1,d,r,1,n);
                if (get.ans[0][0]<=0)
                    break;
                rs[++tot][0]=get.ans[0][1],rs[tot][1]=get.ans[0][2];
                t.reverse(1,rs[tot][0],rs[tot][1],1,n);
                maxcost+=get.ans[0][0];
            }
            printf("%d\n",maxcost);
            while (tot)
            {
                t.reverse(1,rs[tot][0],rs[tot][1],1,n);
                tot--;
            }
        }
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}