后缀数组复习小记

前言

复习小记差不多是写给自己看的，步骤都比较简略，主要总结要点。初学者的话还是去看罗穗骞的论文吧。
这个东西我初二就会了23333333

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$\mathrm{DA}$算法构造

$\mathrm{DA}$就是倍增算法。
每一层都有长度相等的一二关键字。
$SA$就是排名第$i$的后缀的开始位置，$rank$就是第$i$个后缀的排名。
数组$x$代表某后缀在上一层的$rank$，数组$y$代表按第二关键字的$SA$（位置是第一关键字开始处）。
$Wv$就是第二关键字第$i$的后缀的第一关键字（$x[y[i]]$），$Ws$就是$Wv$映射后做前缀和。
求$SA$时倒着做来维护第二关键字的有序。
最后来处理这一轮的$x$，因为有些后缀在当前排序长度下会完全一样，所以用类似离散化的方法，比较函数$cmp$为：bool cmp(int *r,int i,int j,int l){return r[i]==r[j]&&r[i+l]==r[j+l];}
为了不特殊判断边界，我们只需将$r$（关键字数组，这里我们将$x$复制到$y$上，将$y$作为关键字$r$）至少开多一位就行了（如果满足r[i]==r[j]，那至少$i+l-1$和$j+l-1$是没有到边界的）。
这里有个小优化，当离散化后发现所有后缀都互不相同时，我们可以直接退出循环。这个优化实测效果好到飞起。
然后我们就扫一遍求$rank$即可。
这里是$\mathrm{DA}$算法的代码（短小精悍）：

void DA()
{
    int mx=0;
    for (int i=0;i<n;i++)mx=max(x[i]=Wv[i+1]=s[i]-'a'+1,mx);
    for (int i=0;i<=mx;i++)Ws[i]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)Ws[Wv[i]]++;
    for (int i=1;i<=mx;i++)Ws[i]+=Ws[i-1];
    for (int i=n;i>=1;i--)SA[Ws[Wv[i]]--]=i-1;
    /*初始处理这一段，如果字符集很大，就换用快排*/
    int l=1,p;
    while (l<=n)
    {
        p=0;
        for (int i=n-l;i<n;i++)y[++p]=i;
        for (int i=1;i<=n;i++)if(SA[i]>=l)y[++p]=SA[i]-l;
        mx=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)mx=max(Wv[i]=x[y[i]],mx);
        for (int i=0;i<=mx;i++)Ws[i]=0;
        for (int i=1;i<=n;i++)Ws[Wv[i]]++;
        for (int i=1;i<=mx;i++)Ws[i]+=Ws[i-1];
        for (int i=n;i>=1;i--)SA[Ws[Wv[i]]--]=y[i];
        for (int i=0;i<=n;i++)y[i]=x[i],x[i]=0;
        p=1;
        x[SA[1]]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)x[SA[i]]=cmp(SA[i-1],SA[i],l)?p:++p;
        if (p==n)break;//小优化
        l<<=1;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)rank[SA[i]]=i;
}

至于$\mathrm{DC3}$，我不会，一般出题人不会丧心病狂卡你的构造，如果实在不行，那估计正解就是$\mathrm{SAM}$（后缀自动机）了。

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求$height$数组

我们定义$height$表示$length({LCP}(suffix(SA[i]),suffix(SA[i-1])))$。
然后令$rank[i]\le rank[j]$，那么$length(LCP(suffix(i),suffix(j)))$显然为

$$min_{k=i+1}^j height[k]$$
然后怎么线性求$height$呢？
我们令$h[i]=height[rank[i]]$，可证$h[i]\ge h[i-1]-1$（证明见论文）。
然后我们就可以按照$h[1]$，$h[2]$……$h[n]$的顺序计算。这样时间复杂度显然为$\mathrm O(n)$。
求$height$的代码如下：

void get_height()
{
    int k=0;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        k=k?k-1:0;
        if (rank[i]==1)
            continue;
        int j=SA[rank[i]-1];
        while (i+k<n&&j+k<n&&s[i+k]==s[j+k])
            k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}

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常见思路

首先肯定要搞出以上全部东西，然后按排序后的顺序来分析。
通常是单调栈把$height$数组一顿乱搞。
当然还有按照排序后的顺序数据结构维护一些神奇的东西，比如搞棵主席树处理区间问题。
据说$SA$数组搞出来后可以快速建出后缀树，反正我还不会，会了之后再更吧。