本文详细介绍了BP算法在奇偶校验中的应用，通过分解概率和边缘计算的优化，解决如何在给定校验矩阵H和特征值s下，找到最可能的错误图样e。讲解了置信传播的原理、实例和其在实际问题中的优势。
目标：找到满足校验方程 H ⋅ e = s \mathbf{H·e=s} H⋅e=s的错误图样集合 E \mathbf{E} E中可能性最大的 e = [ e 1 , e 2 , . . . , e n ] \mathbf{e}=[e_1,e_2,...,e_n] e=[e1,e2,...,en]。
目标的数学表达：
e M W ↦ A R G M A X e P ( e ∣ s ) \mathbf{e}_{\mathrm{MW}} \mapsto \mathrm{ARGMAX}_{\mathbf{e}} P(\mathbf{e} \mid \mathbf{s}) eMW↦ARGMAXeP(e∣s)，其中 e M W \mathbf{e}_{\mathrm{MW}} eMW表示具有最小权重的错误图样。在假定噪声按位相互独立时，该问题可以分解为 e i = 1 e_i=1 ei=1的边缘概率的计算： P 1 ( e i ) = ∑ e ∼ e i P ( e 1 , e 2 , e i = 1 , e 3 , … , e n ∣ s ) P_{1}\left(e_{i}\right)=\sum_{\mathbf{e} \sim e_{i}} P\left(e_{1}, e_{2}, e_{i}=1, e_{3}, \ldots, e_{n} \mid \mathbf{s}\right) P
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