八皇后问题

在网上找到部分资料整理一番，加上新近做过的一道题目，记录一下这个经典的问题。

八皇后问题涉及到经典的递归回朔算法，问题来源于国际象棋的玩法，因为皇后所在的位置可以纵向、横向、两个斜向四个方向的“捕捉”，所以8皇后问题就是要求如何布置8个皇后在8*8的棋盘上而使他们互相无法“捕捉”。也就是说不存在两个皇后同行或同列，或在同一斜线上。而N皇后问题就是如何布置N个皇后在N*N棋盘里使不存在两个皇后在同行同列和同一斜线上。因为8皇后问题可以归为N皇后问题，所以下面按照N皇后问题来进行讨论：

解决N皇后问题的最好最著名的算法就是回溯法。在算法设计的基本方法中，回溯法是最一般的方法之一。在那些涉及到寻找一组解的问题或者求满足某些约束条件的最优解的问题中，有许多可以用回溯法来求解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含（剪枝叶），则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。（而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。）这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

回到N皇后问题的解决来，看看如何用回溯法解。首先找出解空间：给棋盘的行和列都编上1到N的号码，皇后也给编上1到N的号码。由于一个皇后应在不同的行上，为不失一般性，可以假定第i个皇后将放在第i行上的某列。因此N皇后问题的解空间可以用一个N元组（X1，X2，.....Xn）来表示，其中Xi是放置皇后i所在的列号。这意味着所有的解都是N元组（1，2，3，.......，N）的置换。解空间大小为N！。其次我们看约束条件：因为解空间已经给我们排除了不在同一行（因为每个皇后分别已经对应不同的行号）的约束条件。我们要判断的是不在同一列和不在同一斜线的约束。因为Xi表示皇后所在的列号，所以如果存在X（k）=X（i）那么肯定存在第k个皇后和第i个皇后同列。所以不同列的判段条件是X（k）！=X（i），1<k<i 。又因为同一斜线的特征是要么行号和列号之和不变（右高左低）要么是行号和列号只差相等（左高右低），所以同斜线的判断条件是 i+X（i）= k+X（k) 或 i-X(i) =k-X(k),两式合并得 |X(i)-X(k)|=|i-k| 。

解题：考虑到，实际程序中，要判断第k个皇后和第i个皇后是否同列或同一斜线，当N皇后问题中的N值较大时，如果采用上述的方法，会有较大的时间开销。我们在时间程序中，采用Hash的方法来直接判断，即在确定某个皇后位于第j列后，置Hash[j]为true。以后就可以直接判断是否有位于该列上的皇后啦。同理，在同一斜线上的也可以作此处理。下面给出题目，具体解析：

[cpp] view plain copy print ?

1. /*题目描述：
2. N皇后问题，即在N*N的方格棋盘内放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，
3. 也不允许处在同一斜线上。因为皇后可以直走，横走和斜走如下图)。
5. 你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法。输出N皇后问题所有不同的摆放情况个数。
6. 输入：
7. 输入包含多组测试数据。
8. 每组测试数据输入一个整数n(3<n<=13),表示有n*n的棋盘，总共摆放n个皇后。
9. 输出：
10. 对于每组测试数据，输出总共不同的摆放情况个数，结果单独一行。
11. 样例输入：
12. 4
13. 样例输出：
14. 2
15. */
16. #include <cstdio>
17. #include <iostream>
18. #include <cstdlib>
19. #include <cstring>
20. using namespace std;
21. bool hashc[25]; //行标记
22. bool hashf[45]; //主对角线标记
23. bool hashs[45]; //副对角线标记
24. int count;
25. int n;
26. void Dfs(int row) //安排第row+1个皇后
27. {
28. if(row==n)
29. {
30. count++;
31. return;
32. }
33. for(int i=1;i<=n;i++)
34. {
35. if(hashc[i]) //判断该列是否已经有皇后
36. continue;
37. if(hashf[i+row]) //判断该列的主对角线是否已经有皇后
38. continue;
39. if(hashs[row-i+20]) //判断该列的副对角线是否已经有皇后，此处由于row-i可能为负值，故统一加上20
40. continue;
41. //安排该皇后
42. hashc[i]=true;
43. hashf[i+row]=true;
44. hashs[row-i+20]=true;
45. Dfs(row+1); //下一皇后
46. //回朔回来
47. hashc[i]=false;
48. hashf[i+row]=false;
49. hashs[row-i+20]=false;
50. }
51. }
52. int main()
53. {
54. while(~scanf("%d",&n))
55. {
56. memset(hashc,false,sizeof(hashc));
57. memset(hashf,false,sizeof(hashf));
58. memset(hashs,false,sizeof(hashs));
59. count=0;
60. Dfs(0);
61. printf("%d\n",count);
62. }
63. return 0;
64. }