Maze HDU - 4035 hdu

最新推荐文章于 2020-09-07 23:26:30 发布

a7f650ebd327889c

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分类专栏： dp，概率期望

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本文介绍了一种利用概率动态规划解决迷宫中逃离期望步数的问题。在一个树形结构的迷宫中，玩家从根节点出发，面对被杀回起点、成功逃离及继续探索的概率挑战，通过构建数学模型求解最优期望。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

一道过程很有趣的概率dp

在一棵树上

你在节点1（根节点），

每个节点有一定概率k[i]被杀回到1号根节点，和一定概率e[i]逃离迷宫

还有剩下的概率往下一步走可以走向相邻的任何节点

问离开迷宫走的步数的期望是多少？

思路：

这个题目和 ZOJ 3329 One Person Game(概率DP,求期望)一样

每一部都是可以通过一定概率回到第一步的

即每一步的期望都有根节点期望的一部分

E[i] = ki * E[1] + (1/m) *p[i]*( (E[father]+1) + sigma(E[son]+1) ) m为度数，p[i]=1-ki-ei，每次走一步+1，

E[i] = ki * E[1] + (1/m) *p[i]*( E[father] + sigma E[son] ) +p[i]

按照套路我们定义 E[i] = A[i] *E[1] + B[i]*E[father] +C[i];

带入E[son]

E[i] = ki * E[1] + (1/m) *p[i]*( E[father] + sigma （ A[soni] *E[1] + B[soni]*E[i] +C[soni]） ) +p[i]

（1 - p[i]/m*sigmaB[ison]）E[i] =( k[i]+p[i]/m*sigma A[soni] )E[1] + (P[i]/m)*E[father] + (P[i]/m)* sigmaC[i] +p[i]

得出递推公式

A[i] = ( k[i]+p[i]/m*sigma A[soni] ) / （1 - p[i]/m*sigmaB[ison]）

B[i] = (P[i]/m) / (1 - p[i]/m*sigmaB[ison]）

C[i]=（(P[i]/m)* sigmaC[i] +p[i] ） / （1 - p[i]/m*sigmaB[ison]）

E[1] = A[1] *E[1] +C[1];

E[1] =C[1]/（1-A[1]）

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10009
const double eps=1e-9;  
using namespace std;
vector<int> son[N];
double p[N],k[N];
double A[N],B[N],C[N];
//A[i]=ki + pi/m *(sum A[son])
//B[i]=pi/m
//C[i]=pi/m sum(c[son]) +pi
//D = 1/(1-pi/m*sum[son])
bool dfs(int rt,int fa)
{
		double m=son[rt].size();
		A[rt]=k[rt];
		B[rt]=p[rt]/m;
		C[rt]=p[rt];
		double D=0;
		m=p[rt]/m;
		for(int i=0;i<son[rt].size();i++)
		{
			if(son[rt][i]==fa) continue;
 			if(!dfs(son[rt][i],rt)) return false;
			A[rt]+=(m*A[son[rt][i]]);
			C[rt]+=(m*C[son[rt][i]]);
			D+=(m*B[son[rt][i]]);
		}	
		
		if(fabs(1.0-D)<eps) return false;
			
	A[rt]/=(1.0-D);
	B[rt]/=(1.0-D);
	C[rt]/=(1.0-D);
	return true;
}
int main()
{
	int a,b,t,n;
	cin>>t;
	int kk=1;
	while(t--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		son[i].clear();
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			scanf("%d%d",&a,&b);
			son[a].push_back(b);
			son[b].push_back(a);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lf%lf",k+i,p+i);
			k[i]/=100.0;
			p[i]/=100.0;
			p[i]=1.0- k[i]  -p[i];
		}
		
		if(dfs(1,-1)&&fabs(A[1]-1.0)>eps)
		{
			double ans=C[1]/(1.0-A[1]);
		printf("Case %d: %.6lf\n",kk++,ans);
		}
		else
	    printf("Case %d: impossible\n",kk++);
	}
	return 0;
}