Beijing 2008 HDU - 1852 数论

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#数论 #素因子和

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本文介绍了一种通过模运算快速求解特定数学问题的方法。针对输入的n和k，利用等比数列求和公式计算2008^n的因子和，并通过模运算求得最终结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：输入n,k ，令m=(2008^n的因子和)mod k，输出（2008^m）mod k

思路：

因子和：

2008=2^3 * 251

m=((1+2+2^2+……+ 2^(3*n) ) * (1+251+……+251^n) /250 ) %k

利用等比数列求和公式：

其中 2-1=1，不必除了，251-1=250，乘法逆元？由于 250 与 k不一定互素，所以没办法求出250膜k的乘法逆元

我们知道： x=b(mod m) 是 x=k*m+b 于是有 ax=k*am+ab 即 ax=ab（mod am）

t=250*m= ((1+2+2^2+……+ 2^(3*n) ) * (1+251+……+251^n) ) %250k;

m=t/250;
ans=2008^t%k;

#include<stdio.h>
long long n,k;
long long f(long long a,long long b,long long c)
{
	long long ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%c;
		b>>=1;
		a=(a*a)%c;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&k),n+k)
	{
		long long a=((f(2,3L*n+1,250L*k)-1)*(f(251,n+1,250*k)-1 ))%(250*k);
		a=(a%(250*k)+(250*k))%(250*k);
		a/=250;
		printf("%lld\n",(f(2008,a,k)+k)%k);
	}
	return 0;
	
 }