双目立体视觉：一（坐标系变换、左乘右乘、旋转矩阵）

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在研究双目之前我们需要先明白几个概念

1.坐标系变换（为了理解世界坐标系变化到相机坐标系）

坐标系变换涉及两种，一种平移，一种旋转……二郎觉得好复杂，到底啥是坐标系变换？空间中的一个点怎么对应到另一个空间呢？
坐标系其实就是一个辅助工具，我们空间中存在一个点，它就存在那里，有无坐标系它都不会消失，所以明确一点，坐标系只是度量的工具，它并不影响我们空间中存在的那个点。
所以，很多情况下，考虑坐标系变化时，你先画一个点，然后各种旋转平移那个坐标系骨架（三个轴串起来，感觉很像骨架），然后你只需一个个把点对应到坐标系上，而并不要逆过来为了迎合坐标系而移动点。
上面的很多人容易弄错，在想着坐标系变换时，在大脑里想的时候点也随着变换来回晃动，可以明确，点不动如山……
那么我们来讨论左边变换的平移和旋转，这两个哪个先做都无所谓，二郎更喜欢先旋转对齐，再平移回去。
旋转（一涉及旋转，觉得自己空间感不好的都一阵蒙圈，其实谁都不能x，y，z同时在那转，都是固定一个轴，转动其他两个轴。）
固定x轴，转y，z

那个红色的点是空间中的一个点，为啥我们坐标表换需要加一个空间点？
1.一般直接研究坐标的变换比较少，都是研究一个点在坐标1下的坐标为（x，y，z），那么在坐标2下的坐标为多少？（已知（x，y，z）和θ，求（x2，y2，z2））
2.通过空间点做为媒介，将两个坐标系联系起来，然后求取坐标系变换的过程。（已知（x，y，z）和（x2，y2，z2）求θ）。
变换可以用以下公式表示

这个公式怎么来的呢？在应对矩阵时，我们不妨先转化为方程的形式
Xc = X
Yc = cosθ·Y+sinθ·Z
Zc = -sinθ·Y+cosθ·Z
可以看出绕X轴转，X轴是不发生变化的。那么，这种变化是怎么求得的呢？只需两步
对应

空间点对应在坐标系。
分解

可以看出这个分解和我们高中、初中学的力分解类似，涉及到空间点，包括力的分解在内，有一个技巧，所有的分解都满足欧式距离不变性
（a,b,c,d）(a1,b1,c1,d1)
a2+b2+c2+d2=（a1）2+（b1）2+（c1）2+（d1）2
这种方法可以检查我们结果的正确与否，同时这个也是高中老师没有提到的。

上面的这些都可以推导出来。
我们的坐标系变化有平移和旋转
旋转可以表示为

三坐标的旋转直接相乘，这里的乘有一个知识点，二郎需要提一下

左乘还是右乘

左乘——相对于固定坐标系进行变换，（固定坐标系—我们上面提到的固定x轴旋转……，这里的固定，其实我们已经暗暗地定义了一个坐标系，这个坐标系我们潜意识认为它是不变的，这也就是世界坐标系。除了平时我们假设了固定坐标系就是我们认识的世界坐标系，其他情况是我们需要将坐标系1变换到坐标系2，这时，我们的坐标系2可以设为该固定坐标系）

V’ = R * V = Rz * Ry * Rx V，变换顺序是先绕x转，再绕y转，最后绕z转。
右乘——相对于自身坐标系进行变换，每变一次下一次需要以新坐标系为标准进行变换。比如第一次变换后，原x轴的位置变为y轴，那么下一次绕y轴的变换，就会绕之前的x轴变换。

平移+旋转


这两个图来自：https://wenku.baidu.com/view/12533c6d1611cc7931b765ce0508763231127408.html
看完例子，大家应该能看懂了。

还有就是为什么要用齐次坐标表示？
不加齐次之前

加了齐次之后

可以看出，齐次是为了把加项添加到变换矩阵中。
上面的都是基础知识，我们将世界坐标系变换到相机坐标系，采用左乘，将相机坐标系作为定坐标系。
主要记住一点，绝对位置肯定不会变，只是变坐标系。

这里还要写一点——为啥要把世界坐标系变到相机坐标系？因为我们相机坐标系可以将图像的世界点联系起来，啥是世界点？一般情况下我们是需要测量物体到机器人的距离和位置关系，因此世界坐标系一般定在机器人上，或者是机器人工作的场景中。
世界坐标系与相机坐标系的关系就是相机的外参——因此在用棋盘图进行求内参时外参是不确定的。