hdu 4923 Room and Moor 堆栈

最新推荐文章于 2017-08-12 00:31:18 发布

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本文针对一个特定的数学问题，提出了一种高效的算法解决方案。通过对序列进行分组，并利用栈的数据结构来实现bi值的递增排序，最终求得∑(bi-ai)^2的最小值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给定一个长度为n的，由0和1组成的序列ai，求一个序列bi，使得∑(bi-ai)^2最小。其中0<=bi<=1,bi<=b(i+1)，bi为浮点型。输出最小的∑(bi-ai)^2的值。

题解：

对于ai序列中，开头的连续0,和结尾的连续1可以省略，因为bi中必定可以赋值连续0和连续1相同的值，使得(bi-ai)^2=0；

对于剩余的序列，我们可以分组，每组为连续1+连续0的形式（例如110010可以分成1100和10）。

对于每个组中的数ai，他们对应的bi必定是相同的。证：假设0对应的bi确定，那么要使∑(bi-ai)^2最小，1对应的bi肯定等于0对应bi中的最小值；同理1对应的bi确定时也一样。之后我们可以发现，这个值正好是rate=num1/(num1+num0)，numi表示i的个数。

之后我们遍历每个分组，将每个组压入栈中。在压入栈之前，我们需要判断rate是否呈递增的，若是呈递增的，那么直接要入栈中，因为我们可以两个分组取不同的rate；若不是呈递增，那么我们需要将最后一个组出栈，然后合并，因为我们要保证bi的呈递增的；然后判断这个新的组入栈是否能是栈呈递增，不能则重复前面的动作，直到呈递增或者栈为空为止，之后将新的组压入栈中。

最后得到一个递增的栈，我们直到了每个分组的rate值，那么就能求∑(bi-ai)^2了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
const double eps=1e-8;
const int INF=2e9;
struct node{
    int id,num0,num1;
    double rate;
}e[maxn],f,g;
int t,a[maxn];
stack<node>mm;
int main()
{
    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int i,j,k,n,p,q;
        double num,ans=0;
        t=0;
        scanf("%d",&n);
        int l=0,r=n-1;
        for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        a[n]=1;
        while(a[l]==0)l++;
        while(a[r]==1)r--;
        if(l>r){printf("0.000000\n");continue;}
        for(i=l;i<=r;)
        {
            j=k=0;
            while(a[i]==1){i++;j++;}
            while(a[i]==0){i++;k++;}
            e[t].id=t;e[t].num1=j;e[t].num0=k;e[t].rate=1.0*j/(j+k);
            t++;
        }
        while(!mm.empty())mm.pop();
        for(i=0;i<t;i++)
        {
            if(mm.empty())mm.push(e[i]);
            else
            {
                f=mm.top();
                if(f.rate<=e[i].rate)mm.push(e[i]);
                else
                {
                    g=e[i];
                    while(true)
                    {
                        f=mm.top();
                        if(f.rate>g.rate)
                        {
                            g.num1+=f.num1;
                            g.num0+=f.num0;
                            g.rate=1.0*g.num1/(g.num0+g.num1);
                            mm.pop();
                        }
                        else
                        {
                            mm.push(g);
                            break;
                        }
                        if(mm.empty())
                        {
                            mm.push(g);
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        while(!mm.empty())
        {
            f=mm.top();
            mm.pop();
            ans+=f.rate*f.rate*f.num0+(1-f.rate)*(1-f.rate)*f.num1;
        }
        printf("%.6f\n",ans);
    }
    return 0;
}
/*
10
5
1 0 0 1 0
10
1 0 1 0 0 0 0 1 0 0

1.166667
2.095238

24996.075303
24992.671476
24996.140534
24998.633044
24998.119559
24996.859735
*/