hdu 1081 To The Max 最大子矩阵和（dp）

最新推荐文章于 2020-05-24 20:01:53 发布

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本文介绍了如何通过求解最大连续子序列和来解决给定矩阵中最大子矩阵和的问题，详细阐述了从序列到矩阵的转换过程及优化时间复杂度的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给定一个n*n的矩阵，求所有的子矩阵中，输出最大子矩阵和最大是多少。（矩阵和是指矩阵中所有元素相加所得到的值）

题解：

在解这道题之前，我们需要了解最大连续子序列和。给定一个序列，我们求最大连续子序列和的方法是：先令k=0，然后遍历序列，将序列元素加到k上；当k为负数时，k=0（因为使k变为负数的数必定是负数，最大结果肯定不能包含这个元素，假设包含这个元素，那么必须在这个元素之前要有够大的序列和大于这个元素，而根据k的性质是不存在这样的序列的，所以必定不能包含这个元素）。以这种方式到序列最后，那么其中出现的最大的k就是最大连续子序列和。

这道题是先用sum[i][j]=e[1][j]+e[2][j]+..ei][j]，那么i行到k行，在j列上的元素和就是f[j]=sum[k][j]-sum[i-1][j];我们枚举子矩阵的高k和开始行i，怎么求宽度？我们得到一个序列f[j]=sum[i+k-1][j]-sum[i-1][j]，那么求高度为k，开始行为i的最大子矩阵和就相当于求这个序列f的最大连续子序列和了。那么时间复杂度压缩到了O(n^3)

代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

const int maxn=110;
const int INF=1e8;
int e[maxn][maxn];
int sum[maxn][maxn];
int f[maxn],dp[maxn];
int fun(int n)//用dp求f数组中最大连续子串和
{
    int i,j,k=0,ans=-INF;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        k+=f[i];
        ans=max(ans,k);
        if(k<0)k=0;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        int i,j,k,ans=-INF;
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&e[i][j]);
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+e[i][j];
            }
        }
        for(k=1;k<=n;k++)//枚举子矩阵高度
        {
            for(i=1;i<=n-k+1;i++)//子矩阵开始行
            {
                for(j=1;j<=n;j++)
                    f[j]=sum[i+k-1][j]-sum[i-1][j];
                ans=max(ans,fun(n));
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}