lightoj 1052 - String Growth 矩阵

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本文探讨了一类字符串长度变化问题，通过类似斐波那契数列的规律进行数学建模，并利用矩阵运算加速计算过程。文章详细介绍了如何通过矩阵乘法解决特定条件下的字符串长度预测问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：由a和b组成的串作为第一个串，以后每下个字符串都是由上个串变化而来，变化方式为a全变为b，b全变味ab。一直第n个字符串长x，第m个字符串长y，第k个字符串为多少？

题解：长度变化类似斐波那契公式:f[i]=f[i-1]+f[i-2]。由于太大，所以需要用矩阵加速。即第一个串为p个a，q个b。矩阵公式为

matrix[2][2]={{0,1},{1,1}}；可以列出二元一次方程组。之后求解即可。

可以初始化最坏情况，初始为a的。只要小于这个的都是不符合的情况。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int mod=1e9+7;
struct matrix{
    LL f[2][2];
 };
LL flag,mark,dp[100];
void init()
{
    LL i,j,k;
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    for(i=2;;i++)
    {
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        if(dp[i]>=1e9)break;
    }
    mark=i;
}
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
    LL i,j,k;
    matrix c;
    memset(c.f,0,sizeof(c.f));
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            for(k=0;k<2;k++)
            {
                c.f[i][j]=c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j];
                if(c.f[i][j]>=mod||c.f[i][j]<=-mod)
                {
                    flag=1;
                    c.f[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix pow_mod(matrix a,LL b)
{
    matrix s;
    s.f[0][0]=s.f[1][1]=1;
    s.f[0][1]=s.f[1][0]=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)s=mul(s,a);
        a=mul(a,a);
        b=b>>1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    init();

    LL T,tt=0;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        LL n,m,x,y,k,i,j;
        flag=0;
        cin>>n>>x>>m>>y>>k;
        if(n>m)
        {
            swap(n,m);
            swap(x,y);
        }
        cout<<"Case "<<++tt<<": ";
        if(y<x||m>=mark||x<dp[n]||y<dp[m]){cout<<"Impossible"<<endl;continue;}
        matrix e,g,gg;
        e.f[0][0]=0;e.f[1][0]=e.f[0][1]=e.f[1][1]=1;
        g=pow_mod(e,n-1);
        gg=pow_mod(e,m-1);
       /* cout<<"******"<<endl;
        cout<<g.f[0][0]<<" "<<g.f[0][1]<<endl;
        cout<<g.f[1][0]<<" "<<g.f[1][1]<<endl;
        cout<<"******"<<endl;*/
        LL a,b,c,d,p,q;
        a=g.f[0][0]+g.f[1][0];
        b=g.f[0][1]+g.f[1][1];
        c=gg.f[0][0]+gg.f[1][0];
        d=gg.f[0][1]+gg.f[1][1];
        //cout<<"*"<<a<<" "<<b<<" "<<c<<" "<<d<<endl;
        if(flag||(c*x-a*y)%(b*c-a*d)||(d*x-b*y)%(a*d-b*c)){cout<<"Impossible"<<endl;continue;}
        p=(d*x-b*y)/(a*d-b*c);
        q=(c*x-a*y)/(b*c-a*d);
        //cout<<"***"<<p<<" "<<q<<endl;
        if(p<0||q<0){cout<<"Impossible"<<endl;continue;}
        g=pow_mod(e,k-1);
        cout<<(p*(g.f[0][0]+g.f[1][0])+q*(g.f[0][1]+g.f[1][1]))%mod<<endl;
    }
    return 0;
}