HDU 5955 Guessing the Dice Roll

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分类专栏：概率自动机高斯消元快速幂

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本文介绍了一种利用AC自动机和矩阵运算解决概率计算问题的方法。具体地，通过建立AC自动机并结合矩阵快速幂或高斯消元法来求解多人猜测骰子序列获胜概率的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
有一个6面的骰子，有n $(n\leq 10)$ 个人每个人猜了一个长度为l $(l\leq 10)$ 的序列，不停的掷骰子直到满足一个人的序列则那个人获胜，求每个人获胜的概率。
题解：
由题可知，状态总数最多为100。根据每个人的序列建立AC自动机，根据自动机状态转移构建矩阵 $M$ 。 $M[i][j]$ 表示从j转移到i的概率，转移矩阵包含终态到自己的转移。因为这个矩阵是收敛的，因此可以快速幂卡过。注意指数取 $2^i$ 形式以减少常数。

另一种方法是高斯消元，设增量矩阵为 $A$ ，初始向量为 $b$ ，最终答案为 $x$ ，则有
$x=\sum_{i}^{\infty}A^ib$
该题中增量矩阵 $A$ 的幂级数是收敛的，且等于 $(I-A)^{-1}$ ，因此上式变成 $(I-A)x=b$ ，高斯消元即可。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MN = 105;
const int Z = 6;
const int maxlen = 10005;
int gue[11];

typedef long long ll;
class matrix{
public:
    int row;
    int col;
    double m[105][105];

    matrix(int r,int c):row(r),col(c){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }

    matrix(int n){
        memset(m,0,sizeof(m));
        row = col = n;
        for(int i = 0;i < n;i++){
            m[i][i] = 1;
        }
    }

    matrix(){}

    matrix operator*(const matrix &b){
        matrix ret(row,b.col);
        for(int i = 0;i < row;i++){
            for(int k = 0;k < col;k++){
                for(int j = 0;j < b.col;j++){
                    ret.m[i][j] += m[i][k]*b.m[k][j];
                }
            }
        }
        return move(ret);
    }

    matrix qpow(ll n){
        matrix ret(row);
        matrix tmp = *this;
        while(n){
            if(n&1){
                ret = move(ret * tmp);
            }
            tmp = move(tmp * tmp);
            n>>=1;
            //tmp.print();
            //printf("\n");
        }
        return move(ret);
    }

    void print(){
        for(int i= 0;i < row;i++){
            for(int j =0;j < col;j++){
                printf("%f ",m[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
}A;

class ACautomaton {
public:
    int chd[MN][Z], fail[MN], Q[MN], nn;
    int fin[11];
    bool Mark[MN];

    void Init() {
        fail[0] = 0;
        memset(chd[0], 0, sizeof(chd[0]));
        memset(Mark, false, sizeof(Mark));
        nn = 1;
    }

    void Insert(int id,int l) {
        int p = 0;
        for(int i = 0;i < l;i++) {
            int c = gue[i]-1;
            if(!chd[p][c]) {
                memset(chd[nn], 0, sizeof(chd[nn]));
                chd[p][c] = nn++;
            }
            p = chd[p][c];
        }
        fin[id] = p;
        Mark[p] = true;
    }

    void Build() {
        int *s = Q, *e = Q;
        for(int i = 0; i < Z; i++) {
            if(chd[0][i]) {
                *e++ = chd[0][i];
                fail[chd[0][i]] = 0;
            }
        }
        while(s != e) {
            int u = *s++;
            for(int i = 0; i < Z; i++) {
                int v = chd[u][i];
                if(v){
                    *e++ = v;
                    int t = fail[u];
                    while(t && !chd[t][i]) t = fail[t];
                    fail[v] = chd[t][i];
                }
                //else{
                //    int t = fail[u];
                //    while(t&&!chd[t][i]) t = fail[t];
                //    chd[u][i] = chd[t][i];
                //}
            }
        }
        A = matrix(nn,nn);
        for(int i = 0;i < nn;i++){
            if(Mark[i]){
                A.m[i][i] = 1.0;
            }
            else{
                for(int j = 0;j < Z;j++){
                    int v = chd[i][j];
                    if(v){
                        A.m[v][i] += 1.0/6;
                    }
                    else{
                        int t = fail[i];
                        while(t && !chd[t][j]) t = fail[t];
                        v = chd[t][j];
                        A.m[v][i] = 1.0/6;
                    }
                }
            }
        }
    }

    void dfs(int u){
        if(Mark[u]){
            A.m[u][u] = 1.0;
            return ;
        }
        for(int i = 0;i < Z;i++){
            int v = chd[u][i];
            if(v){
                A.m[v][u] = 1.0/6;
                dfs(v);
            }
            else{
                int t = fail[v];
                while(t && !chd[t][i]) t = fail[t];
                t = chd[t][i];
                A.m[t][u] = 1.0/6;
            }
        }
    }
}AC;


int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T,n,l;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&l);
        AC.Init();
        for(int i = 0;i < n;i++){
            for(int j = 0;j < l;j++){
                scanf("%d",&gue[j]);
            }
            AC.Insert(i,l);
        }
        AC.Build();
        //printf("%d\n",AC.nn);
        matrix x = matrix(AC.nn,1);
        x.m[0][0] = 1;
        //A.print();
        matrix tmp = A.qpow(1ll<<30);
        x = tmp*x;

        double tot = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++){
            tot += x.m[AC.fin[i]][0];
        }
        //printf("%f\n",tot);
        for(int i = 0;i < n;i++){
            printf("%.6f",x.m[AC.fin[i]][0]/tot);
            if(i == n-1) printf("\n");
            else printf(" ");
        }
    }
    return 0;
}