61、图论中的计算复杂度问题研究

图论中的计算复杂度问题研究

在图论的研究领域中，图的转换等价性以及局部单同态问题的计算复杂度是重要的研究方向。下面将详细介绍这两个方面的相关内容。

1. 转换到无刺猬图问题的复杂度

判定一个图是否能通过转换等价于一个无刺猬图的问题属于NP问题。这是因为包含集合A的证书可以在多项式时间内进行检查，只需测试S(G, A)中每个具有2k + 3个顶点的诱导子图是否为刺猬图。

目前已经解决的一些图的转换等价问题复杂度如下：
| 图类型 | 复杂度情况 |
| ---- | ---- |
| K2 | 多项式时间可解 |
| K3 | 多项式时间可解 |
| K1,2 | 多项式时间可解 |
| P4 | 多项式时间可解 |
| K1,3 | 多项式时间可解 |
| 刺猬图 | NP困难 |

然而，对于图H的完整特征描述仍未完成，存在以下未解决的问题：
- 问题1 ：对于哪些图H，判定转换等价于无H图的问题是多项式时间可解的？对于哪些图H，该问题是NP完全的？是否存在既不是多项式时间可解也不是NP完全的图？
- 问题2 ：对于任何固定的k ≥ 4，转换等价于无Kk图的计算复杂度是多少？

2. 简单权重图的局部单同态问题

2.1 基本概念

• 权重图 ：一个连通（多重）图，包含两个度数至少为3的顶点u和v，其他顶点度数为2。并且移除u或v后，剩余图包含一个环。如果u和v的度数都为3，则称为简单权重图。简单权重图H可以表示为W(a, b, c)，其中a和b是环的长度，c是连接u和v的路径长度。当a、b和c的最大公约数为1时，称W(a, b, c)为约化的。

• 局部单同态（LI - 同态） ：设G和H是图，从G到H的同态f是一个从V(G)到V(H)的保边映射。在不同情况下，LI - 同态有不同的定义：

  • 当H不是多重图时，对于每个v ∈ V(G)，NG(v)单射地映射到NH(f(v))。
  • 当H是多重图（G是简单图）时，LI - 同态f : V(G) ∪ E(G) → V(H) ∪ E(H)需满足以下条件：
    • 对于每个u ∈ V(G)，f(u) ∈ V(H)。
    • 对于每个e = {u, v} ∈ E(G)，f(e) ∈ E(H)且f(e) = {f(u), f(v)}。
    • 对于每个u ∈ V(G)和每个非环边e ∈ E(H)，使得f(u) ∈ e，在E(G)中至多有一条边e′使得u ∈ e′且f(e′) = e。
    • 对于每个u ∈ V(G)和每个顶点f(u)上的环边e ∈ E(H)，在E(G)中至多有两条边e′, e′′使得u ∈ e′，u ∈ e′′且f(e′) = f(e′′) = e。

• H - LIHom问题 ：输入为图G，任务是判定是否存在从G到固定图H的LI - 同态。

2.2 相关问题的复杂度研究

• H - Hom问题 ：其计算复杂度已由Hell和Nešetřil完全确定。当H是二分图时，该问题可在多项式时间内解决；否则，是NP完全的。
• H - LSHom问题 ：由Kristiansen和Telle发起研究，Fiala和Paulusma完成了完整的特征描述，证明对于每个至少有三个顶点的连通图，H - LSHom问题是NP完全的。
• 局部双射同态问题 ：虽然经过了一些努力，但完整的特征描述仍未知。

对于局部单同态问题，其计算复杂度的二分性也尚未明确，不过已有一些部分结果。Fiala和Kratochvíl还考虑了该问题的列表版本并展示了二分性。同时，有研究表明H - LBHom问题可在多项式时间内归约到H - LIHom问题，因此研究H - LBHom问题可在多项式时间内解决的情况下H - LIHom问题的复杂度是有意义的。

2.3 简单权重图的局部单同态复杂度结果

• 定理1 ：W(a, a, a) - LIHom问题是NP完全的。
• 定理2 ：当a能被2的更高次幂整除且b不能时，W(a, a, b) - LIHom问题可在多项式时间内解决；否则，是NP完全的。
• 定理3 ：若H是二分的简单约化权重图，则H - LIHom问题可在多项式时间内解决。
• 定理4 ：若H是非二分的简单约化权重图，则H - LIHom问题是NP完全的。

下面是简单权重图局部单同态问题复杂度研究的流程mermaid图：

graph LR
    A[输入图G和固定图H] --> B{H是否为简单权重图}
    B -- 是 --> C{H是否二分且约化}
    C -- 是 --> D[多项式时间可解（定理3）]
    C -- 否 --> E{是否为W(a, a, a)形式}
    E -- 是 --> F[NP完全（定理1）]
    E -- 否 --> G{是否为W(a, a, b)形式}
    G -- 是 --> H{是否a被2更高次幂整除且b不能}
    H -- 是 --> I[多项式时间可解（定理2）]
    H -- 否 --> J[NP完全（定理2）]
    G -- 否 --> K{是否非二分且约化}
    K -- 是 --> L[NP完全（定理4）]
    K -- 否 --> M[情况待研究]
    B -- 否 --> N[其他情况待研究]

3. 预备知识

• 2 - 因子 ：设G是图，H是G的生成子图，若对于所有v ∈ V(G)，degH(v) = 2，则称H是G的2 - 因子。
• 边着色 ：设C是一组颜色，从E(G)到C的映射ϕ称为边着色，若对于E(G)中共享一个公共顶点的任意两条边e1, e2，有ϕ(e1) ≠ ϕ(e2)。
• 简单路径 ：在图G中，路径v0v1v2 … vn是简单路径，若v0和vn的度数至少为3，且路径的所有内部顶点度数为2。长度为n的简单路径记为SPn。

对于简单路径的局部单同态，定义了函数gP
f (v0, vn) = x，表示边v0v1被LI - 同态f映射到H中SPx的一条边。还定义了stP
f (v0, vn)表示f(v0v1)。

如果存在一个包含长度为n的简单路径P且端点为v0和vn的图G，以及一个LI - 同态f : G → H，使得gP
f (v0, vn) = x且gP
f (vn, v0) = y，则称SPn允许分解x - y。当f(v0) = f(vn)时，记为x - k y；当f(v0) ≠ f(vn)时，记为x - c y。

4. 二分简单约化权重图的H - LIHom问题多项式时间可解证明

定理3是定理5在na = nb = nc = 1时的特殊情况。

定理5 ：设H = W(ana, bnb, cnc)，其中a, b, c, na, nb, nc ∈ N且GCD(a, b, c) = 1，若H是二分的，则H - LIHom问题可在多项式时间内解决。

证明步骤如下：
1. 设H是定理中固定的权重图，wA, wB ∈ V(H)的度数分别为2na + nc和2nb + nc。由于H是二分的且GCD(a, b, c) = 1，可知c是奇数，a和b是（不一定不同的）偶数。
2. 对于输入图G，假设G是二分图。若不是，则不存在从G到H的LI - 同态，算法立即返回NO答案。
3. 将V(G)中的大顶点（度数至少为3）划分为二分图的两个集合A和B。所有A中的顶点必须映射到wA，所有B中的顶点必须映射到wB，或者反之。尝试这两种可能性，不妨假设A中的顶点映射到wA，B中的顶点映射到wB。
4. 将H - LIHom问题归约为辅助图G′的旗因子问题。
- 旗因子问题 ：
- 输入 ：图G′和函数fl : V(G′) → N0以及fu : V(G′) → N。
- 输出 ：G′的生成子图F，满足对于所有v ∈ V(G′)，fl(v) ≤ degF(v) ≤ fu(v)。
- 辅助图G′的构造 ：
- G′包含对应于A和B的两个顶点集A′和B′。
- 对于所有v ∈ B′ ∪ A′，定义fu(v) = nc；对于所有v ∈ A′，定义fl(v) = degG(v) - 2na；对于所有v ∈ B′，定义fl(v) = degG(v) - 2nb。
- 对于B(G)中任意两个大顶点u, v之间的（简单）路径，构造一个列表L，列出在某些LI - 同态下的所有可能映射（由于H是二分的，所有这些分解要么改变要么保持奇偶性），只区分这些分解是以环边还是桥边开始或结束。在列表L中，用“∼”表示环边，用“ - ”表示桥边。根据L用小装置连接G′中对应的u′和v′。
5. 证明存在从G到H的LI - 同态f当且仅当存在G′的旗因子F：
- 若f存在 ：对于E(G)中每个满足u ∈ B(G)且{u, w}被映射到桥边的边{u, w}，取对应包含边{u, w}的简单路径的小装置中与u′关联的一条边到F中。对于这样的F，对于每个u ∈ B(G)，有fl(u′) ≤ degF(u′) ≤ fu(u′)。如果F不是旗因子，可以添加一些不与任何u′（u ∈ B(G)）关联的边。所以如果旗因子F不存在，则LI - 同态f也不存在。
- 若旗因子F存在 ：证明存在从G到H的LI - 同态f。fl和fu的选择确保A′和B′中的每个顶点分别至多有nc条关联的匹配边和至多2na、2nb条关联的非匹配边。
- 对于V(G)中的大顶点v和G′中对应的顶点v′，若v ∈ A，则规定f(v) = wA；否则f(v) = wB。
- 对于以v开始的简单路径P和G′中对应于P的小装置g，若g中与v′关联的边是匹配边，则f将P的起始边映射到某个桥边；否则映射到某个与顶点f(v)关联的环边。此时不定义f在P上的具体映射，只规定一种分解{a - a, a - b, a - c, b - c, b - b, c - c}，将P分割成长度为a、b和c的路径，并规定P的内部顶点哪些映射到wA，哪些映射到wB。这样就确定了G中哪些顶点映射到wA和wB。
- 设T是G中映射到H的大顶点的顶点集。注意度数小于3的顶点也可能在T中。并且，当T ∩ P是路径P的仅有的端点时，P的长度在{a, b, c}中。接下来只需决定路径P将映射到H的哪个环或桥。
- 创建辅助图Ua、Ub、Uc，顶点集分别为{u ∈ T | f(u) = wA}、{u ∈ T | f(u) = wB}、T。对于所有x ∈ {a, b, c}，若Ux中的两个顶点通过长度为x的内部路径相连，则它们之间有一条边。

通过以上步骤，完成了二分简单约化权重图的H - LIHom问题多项式时间可解的证明。这些研究成果为图论中的计算复杂度问题提供了重要的理论基础，同时也为后续的研究指明了方向。

图论中的计算复杂度问题研究

5. 非二分简单约化权重图的 H - LIHom 问题 NP 完全性证明

虽然原文未给出定理 4（若 H 是非二分的简单约化权重图，则 H - LIHom 问题是 NP 完全的）的详细证明，但我们可以推测其证明思路通常是通过将一个已知的 NP 完全问题归约到 H - LIHom 问题。

一般的归约步骤如下：
1. 选择已知的 NP 完全问题 ：例如 3 - SAT 问题、独立集问题等。这些问题已经被证明是 NP 完全的，因此可以作为归约的起点。
2. 构造归约 ：将已知 NP 完全问题的实例转换为 H - LIHom 问题的实例。这通常涉及到构建一个图 G，使得已知问题的解存在当且仅当存在从 G 到 H 的 LI - 同态。
3. 证明归约的正确性 ：证明已知问题的解和 H - LIHom 问题的解之间存在一一对应关系。即如果已知问题有解，则 H - LIHom 问题也有解；反之亦然。
4. 证明归约是多项式时间的 ：确保归约过程可以在多项式时间内完成。这样，如果 H - LIHom 问题可以在多项式时间内解决，那么已知的 NP 完全问题也可以在多项式时间内解决，这与已知问题是 NP 完全的事实相矛盾。

下面是一个可能的归约流程 mermaid 图：

graph LR
    A[已知 NP 完全问题实例] --> B[构造图 G]
    B --> C{是否存在从 G 到 H 的 LI - 同态}
    C -- 是 --> D[已知问题有解]
    C -- 否 --> E[已知问题无解]

6. 局部单同态问题的应用与意义

局部单同态问题在多个领域都有重要的应用：
- 频率分配 ：局部单同态与 H(2, 1) - 标签密切相关，而 H(2, 1) - 标签在频率分配中有应用。在无线通信中，需要为不同的设备分配频率，以避免干扰。H(2, 1) - 标签可以帮助解决这个问题，通过将图的顶点映射到频率，确保相邻顶点和距离为 2 的顶点分配不同的频率。
- 图的结构分析 ：研究局部单同态可以帮助我们更好地理解图的结构和性质。例如，通过判断是否存在从一个图到另一个图的局部单同态，可以确定两个图之间的某种相似性或包含关系。
- 算法设计 ：对于局部单同态问题复杂度的研究可以为算法设计提供指导。如果一个问题被证明是多项式时间可解的，那么可以设计高效的算法来解决它；如果是 NP 完全的，那么可以考虑使用近似算法或启发式算法。

7. 总结与展望

在图论的计算复杂度研究中，我们已经取得了一些重要的成果：
| 问题类型 | 复杂度结果 |
| ---- | ---- |
| 转换到无刺猬图问题 | 部分图已确定复杂度，整体特征未完成 |
| 简单权重图的 H - LIHom 问题 | 二分简单约化权重图多项式时间可解，非二分简单约化权重图 NP 完全 |

然而，仍然存在许多未解决的问题：
- 图 H 的完整特征描述 ：对于判定转换等价于无 H 图的问题，哪些图 H 使得问题是多项式时间可解的，哪些是 NP 完全的，还没有完整的答案。特别是对于完全图 Kk（k ≥ 4）的情况，尚未解决。
- 局部单同态问题的进一步研究 ：虽然已经对简单权重图的局部单同态问题进行了完整的复杂度刻画，但对于更一般的图类，局部单同态问题的复杂度仍然未知。未来的研究可以考虑扩展到其他类型的图，如正则图、平面图等。
- 应用拓展 ：可以进一步探索局部单同态问题在其他领域的应用，如生物信息学、社交网络分析等。

未来的研究方向可以围绕以下几个方面展开：
1. 深入研究特殊图类 ：继续研究具有特殊结构的图类的局部单同态问题复杂度，寻找更多的多项式时间可解和 NP 完全的情况。
2. 开发新的算法和技术 ：针对 NP 完全的局部单同态问题，开发更高效的近似算法或启发式算法，以提高问题的求解效率。
3. 跨领域应用 ：将图论中的局部单同态问题与其他领域的问题相结合，探索新的应用场景和解决方案。

通过不断的研究和探索，我们有望更深入地理解图论中的计算复杂度问题，为实际应用提供更有效的算法和理论支持。