32、直观概率逻辑：从理论到应用

直观概率逻辑：从理论到应用

1. 引言

概率逻辑在经济学、人工智能和形式方法等领域中，用于对知识和信念进行推理。其语法构建块是公式，由命题假值 ⊥、命题字母通过布尔连接词以及信念算子 $L_r$（$r \in Q \cap [0, 1]$）构成。$L_r\varphi$ 表示主体对事件 $\varphi$ 的信念至少为 $r$。

不同的概率逻辑被开发出来，以提供一致性的句法定义。例如，Fagin 和 Halpern 定义了更丰富的逻辑语言，包括概率公式的线性组合，为此他们制定了独立的线性不等式系统；Heifetz 和 Mongin 则采用了 Aumann 建议的更简单的语法。此外，还有人提供了包含新规则的概率逻辑公理化。

然而，这些结果大多是弱完备的，即一个公式在系统中一致当且仅当它在基于类型空间的模型中有解。而 Goldblatt 和 Meier 研究了具有强完备性的概率逻辑演绎系统。Goldblatt 提出了一个关于可测空间上余代数的演绎系统，引入了可数可加性规则；Meier 则采用了包含可数合取（析取）的无穷语言，开发了一个关于类型空间类的强完备无穷概率逻辑。

从这些演绎系统可以看出，概率的演绎或形式推理与线性不等式的直观推理之间存在内在联系。对于概率公式 $\varphi$，其一致性通过基于原子的翻译意味着相应线性不等式系统的可解性。本文将证明这种关系是等价的，关键步骤是引导的最大一致扩展定理。

2. 语义和语法

2.1 语法

逻辑的语法与模态逻辑非常相似。从一个固定的无限命题字母集 $P = {p_1, p_2, \cdots}$ 开始，公式 $\varphi$ 由命题字母通过连接词