4、主递归的实初等方法及推广

主递归的实初等方法及推广

在算法分析中，递归关系的求解是一个重要的研究领域。本文将介绍一种实初等方法来解决主递归问题及其推广，同时还会探讨多处理器上作业调度的能源效率问题。

初等和与定理A的证明

我们的目标是对初等和进行界定，即 $S_f(n)$，其中 $f$ 是一个 EL 函数。这样的和可以表示为 $S_e(n) := \sum_{x\geq1}^n EL_e(x)$。

首先，我们引入误差符号。当我们写 “$x = y \pm z$” 时，意味着对于某个满足 $|\theta| \leq 1$ 的 $\theta$，有 $x = y + \theta z$。在任何数值表达式中，符号 “$\pm$” 的每次出现都代表一个 “$+\theta$” 序列，这是一种非常有用的变量隐藏工具。对于任何连续函数 $f$，有 $\sum_{i=1}^n f(n \pm c) = nf(n \pm c)$。

接下来，我们需要对 $e$ 定义三个运算符。位移运算符 $\sigma$ 定义为：对于所有的 $i$，$\sigma(e)(i) = e(i + 1)$。例如，$EL_{\sigma(e)}(n) = EL_e(2n)$。对于 $c \in R$，令 $e’$（分别地，$e + c$）表示将 $e(0)$ 分量清零（分别地，加上 $c$）的指数序列：$e’(0) = 0$ 且 $(e + c)(0) = c + e(0)$，而对于 $i \neq 0$，$e’(i) = (e + c)(i) = e(i)$，通常 $c = 1$。

另一个重要的结果是：如果 $Ord(e) \geq 0$ 且 $c \in R$，则 $EL_e(2n\pm c) = E