45、超平面排列中输出敏感的胞腔枚举算法

超平面排列中输出敏感的胞腔枚举算法

1 背景介绍

在超平面排列问题中，Avis 和 Fukuda 开发了一种反向搜索方法，其运行时间为 $O(m · d · lp(m, d) · | C |)$，其中 $lp(m, d)$ 是求解一个 $m × d$ 线性规划所需的时间。当维度 $d$ 固定时，他们的算法时间复杂度为 $O(m^2 · | C |)$。通过对其两个主要过程进行效率提升，整体时间复杂度得到了显著优化，优化因子为 $m$。

1.1 胞腔识别方法

考虑排列中所有可能存在的胞腔的状态空间。可以通过以下方法识别胞腔：
- 每个超平面 $h_i$（$1 ≤ i ≤ m$）由线性等式 $h_i := {x : a_ix = b_i}$ 给出，其中 $a_i$ 是 $m×d$ 矩阵 $A$ 的第 $i$ 行，$b_i$ 是大小为 $m$ 的列向量 $b$ 的第 $i$ 个元素。
- 对于 $\mathbb{R}^d$ 中的每个点，定义一个长度为 $m$ 的符号向量，由 $+$、$0$ 和 $-$ 组成。点 $x$ 的符号向量的第 $i$ 个位置为 $+$，表示 $x$ 位于超平面 $i$ 的正侧（$a_ix > b_i$）；为 $0$ 表示 $x$ 位于超平面上；为 $-$ 表示 $x$ 位于超平面的负侧（$a_ix < b_i$）。
- 当含义明确时，用胞腔中所有点的符号向量来标识胞腔，该符号向量仅由 $+$ 和 $-$ 组成。胞腔 $c$ 所在超平面正（负）侧的超平面索引集称为胞腔的正（负）支撑，分别用 $c^+$（$c^-$）表示。
- 选择一个胞腔作为根胞腔，并在必要时反转一些超平面的方向，使其符号向量仅由 $+$