44、稀疏网格与超平面排列中的算法研究

稀疏网格与超平面排列中的算法研究

在计算机科学和算法研究领域，稀疏网格和超平面排列是两个重要的研究方向。它们在并行计算、计算几何等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍相关算法及其特性。

稀疏网格上的基本算法

• 细化采样排序算法
  • 步骤 ：
    1. 执行 $\log n$ 轮合并和缩减操作。在第 $r$ 轮（$0 \leq r < \log n$），将两个包含 $2^r$ 个处理单元（PU）的子集中，每个大小为 $m$ 的样本进行合并，仅保留偶数秩的键。
    2. 将选定的大小为 $m$ 的样本 $M$ 广播到所有 PU。
  • 引理 7 ：在具有 $n$ 个 PU 的稀疏网格上，细化采样能在 $o(h)$ 步内选择大小为 $m$ 的样本。元素 $p$ 在样本 $M$ 中的秩为 $rank_p$，其全局秩 $Rank_p$ 满足：$h \cdot \frac{n}{m} \cdot rank_p - O(h \cdot \frac{n}{m} \cdot \log n) \leq Rank_p \leq h \cdot \frac{n}{m} \cdot rank_p + O(h \cdot \frac{n}{m} \cdot \log n)$。通过合并样本及其数据包，PU 可以估计每个数据包 $p$ 的全局秩 $Rank_p$，误差界为 $O(h \cdot \frac{n}{m} \cdot \log n) = O(h/f) = o(