ZOJ 3772

最新推荐文章于 2018-08-14 14:39:00 发布

原创最新推荐文章于 2018-08-14 14:39:00 发布 · 424 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

ACM 专栏收录该内容

4 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何利用矩阵快速幂技术解决序列求和问题，通过构建线段树并维护矩阵节点，实现高效地计算任意区间内的序列和。重点介绍了矩阵乘法在求解过程中的应用，并详细解释了线段树的构建与查询方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=5235

给定一个序列 A1,A2,A3...An 若干组询问，每组询问给出一个[L,R]

定义一个函数F(x)

F_i(L_i) = A_{L_i}
F_i(L_i + 1) = A_{(L_i + 1)}
for all x >= L_i + 2,F_i(x) = F_i(x - 1) + F_i(x - 2) ×A_x

每组询问求F(R)

对于每次递推，相当于{ { 1 , Ax } , { 1, 0 } } * { F(x-1) ,F(x-2) }

2×2的矩阵乘以2×1的矩阵得出2×1的矩阵{ F(x-1)+F(x-2)*Ax , F(x-1) }

只要求出矩阵连乘的结果，就可以得出结果

维护一棵线段树，叶子节点是{ { 1 , Ax } , { 1, 0 } }，父节点是右儿子乘以左儿子，查询的时候和线段树一样

矩阵乘法不满足交换律，一定不能写反

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define l i<<1
#define r i<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
ll M=1e9+7;
const int N=100009;
int a[N];
struct mat{
    ll a[2][2];
    mat(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void set(int x){
        a[0][0]=a[1][0]=1;
        a[0][1]=x;
        a[1][1]=0;
    }
    mat operator*(const mat&t)const{
        mat ans;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++)
                    ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*t.a[k][j])%M;

        return ans;
    }
}sum[N<<2];
void build(int L,int R,int i){
    if(L==R){
        sum[i].set(a[L]);
        return ;
    }
    int mid=L+R>>1;
    build(L,mid,l);
    build(mid+1,R,r);
    sum[i]=sum[r]*sum[l];//这里不能写反，矩阵乘法不满足交换律
}
mat query(int L,int R,int i,int x,int y){
    if(x<=L&&R<=y)
        return sum[i];
    int mid=L+R>>1;
    if(x>mid)
        return query(mid+1,R,r,x,y);
    else if(y<=mid)
        return query(L,mid,l,x,y);
    else
        return query(mid+1,R,r,x,y)*query(L,mid,l,x,y);//这里不能写反，矩阵乘法不满足交换律
}
int main(){
    int i,j,k,n,m,x,y,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",a+i);
        build(1,n,1);
        while(m--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(y<=x+1)
                printf("%d\n",a[y]);
            else{
                mat t=query(1,n,1,x+2,y);
                printf("%lld\n",(t.a[0][0]*a[x+1]%M+t.a[0][1]*a[x]%M)%M);
            }
        }
    }
    return 0;
}